Вопрос №20.Производная и дифференциал ф-ции. Правило дифференцирования.
Производной
в точке
наз
отношения приращения ф. к приращению
аргумента если этот предел сущ-ет.
Геом.
смысл производной: угловой коэф.
касательной в точке
=
значению производной в этой точке.
О.
Ф.
наз дифференцируемой в точке
,
если она имеет в этой точке конечную
производную. Если ф. дифференцируема в
каждой точке интервала
,
то она наз дифференцируемой
на
.
Если
ф. дифференцируема в т.
,
то
,
где
–приращение
ф. ,
-приращение
аргумента. А-число не зависящее от
;
-бесконечно
малое, при
Дифференциалом
ф.
в точке
наз линейная часть ур-ния
Дифференциалом
независимой переменной
наз приращение этой переменной, т.е.
.
Т.о.
Т.
Если ф.
и
диф. в т.
,
то их сумма, разность, произведение и
частное также диф-мы в этой точке. Причем:
,
,
.
Производная
1-го порядка: функция
Производная второго порядка- производная от
Дифференциал
–ного
порядка
Вопрос №21. Основные теоремы дифференциального исчисления.
Теорема Ферма.
ф-я
определена на
и в нек-рой точке
этого интервала имеет наиб. или наим.
значение, тогда если в этой точке
определена производная, то она =0, т.е.
Если произв. в точке =0, будет ли в этой точке наиб. или наим. значение.
Пр.
в точке 0 производная =0.
Теорема Ролля.
П
усть
на отрезке
определена ф-я
,
причем:
непрерывна на
дифференцируема на
Тогда
сущ-ет точка
,
что
Теорема Лагранжа.
Пусть
на
определена ф-я
причем:
непрерывна на
диффер. на
Тогда
сущ-ет точка С, принадлежащ.
,
такая, что
Теорема Коши.
Пусть
и
непрерывны
на
и дифференцируемы на
и пусть кроме того
,
тогда сущ-ет
такая, что
.
Если в кач-ве
взять
ф-ю.
=
,
то получим т. Лагранжа. Если т. Лагранжа
положить
,
то получим т. Коши.
Теорема Лапиталля-Бернулли.
Пусть
и
определены и дифф. на
содержащим точку
за исключением быть может самой точки
.
Пусть предел при
и
на
,
тогда если сущ-ет конечный предел, при,
то
сущ-ет и
причем
они равны.
Вопрос №22. Исследование поведения ф-и и построение её графика.
Признак и .
О.
Ф-я
на
наз : 1)постоянной, если
,
где
для
;2)возрастающей,
если для любых двух значений
,
таких что
вып-тся нер-во
;
3)убывающей, если из
следует
Достаточное условие и функции.
Если
в данном промежутке
«+»,
то ф-я
в этом промежутке, если
«-«, то ф-я .
Если же на промежутке
, то ф-я постоянна на этом промежутке.
Экстремумы ф-и.
Рассм.
нек-рую ф-ю
,
определенную на
.
Пусть
,
–нек-рое
«+» число, -окрестностью
в точке
будем наз-ть интервал
и
обозначать
.
О.
Если можно указать такую –окрестность
,
принадлежащую
, что для всех
вып-тся
,
то
наз-ют максимумом ф-и
и обозначают
.
Если же вып-тся нер-во , то минимумом –
и наз-ют экстремумом. Значение аргумента, при к-ром достигается экстремум, наз-ют точкой экстремума.
Т. (необходимое условие экстремума). В точке экстремума дифф. ф-и ее производная =0.
Если производная =0, то отсюда не следует, что -точка экстремума.
О. Точка, в к-рой производная =0 наз стационарной. Точки, в к-рых произв. =0, а также точки, в к-рых производная не существует, либо = наз-ют критическими точками. Т.о. точки экстремума следует искать среди критических точек.
Т.(достаточное условие экстремума). Пусть ф-я дифференцируема в нек-рой окрестности . Если в точке производная=0 и меняет знак при переходе через , то –точка экстремума, причем : 1)если произв. меняет знак с – на + это точка минимума; 2)с + на – точка максимума.
Т.Если
в точке
1-ая произв. дифф-мая. в нек-рой окрестности
ф-и =0, а 2-ая произв. отлична от нуля, то
явл. точкой экстремума. Причем
-
если
0,
и
-
если
0.
Направление выпуклости и точки перегиба.
О. График наз выпуклым вниз в данном промежутке, если он целеком расположен выше касательной в его производной точке и выпуклым вверх-если расположен ниже касательной.
Т. Достаточный признак выпуклости графика ф-и.
Если
ф-и –«+» в данном промежутке, то график
ф. явл. выпуклым вниз в данном промежутке.
Если же
–«-«,
то-выпуклым вверх.
О. Точка, в к-рой меняется направление выпуклости наз точкой перегиба.
Т.(достаточный признак существования точки перегиба).
Если
в точке
=0 и меняет знак при переходе через нее,
то
–точка
перегиба.