- •Вопрос №1. Декартова прямоугольная и полярная с-ма коорд.
- •Гипербола.
- •Вопрос №9.Системы линейных уравнений.
- •3 Вектора , и наз компланарными, если они лежат в одной плоскости. Сумма 2х векторов и -вектор , начало кот совпадает с началом вектора , а конец – с концом .
- •Предел ф-и.
- •Бесконечно большие и бесконечно малые ф-и.
- •Вопрос №20.Производная и дифференциал ф-ции. Правило дифференцирования.
- •Теорема Лагранжа.
- •Признак и .
- •Асимптоты.
- •Неопределенный интеграл и его св-ва.
- •Предел.
- •Частные производные 1-го порядка
- •Экстремум ф-и двух переменных.
- •Вопрос №33.Понятие двойного и тройного интеграла.
- •Однородные ду
Предел ф-и.
О. Число А наз пределом ф-и , при (или в точке ). Если для любого числа 0, сущ-ет такое число , что при всех , удовлетворяющих условию 0 вып-тся нер-во .
Для 0 (1) .
Обозначается
Геометрический смысл определения. Нер-во (1) означает, что расположено от на расстоянии не более , т.е. за исключением самой точки . Нер-во (2) означает, что значение ф-и не выходит из интервала или . След-но точки графика ф-и должны находится в полосе шириной 2, если
Односторонние пределы.
О. Число А наз правым(левым) пределом ф-и в точке , если для сущ-ет , такое,что для всех , удовлетворяющих рав-ву + ( - ); .
+ ( - ) .
Связь между односторонними пределами.
Ф-я имеет в предел только тогда, когда в этой точке сущ-ет как левый так и правый предел и они равны. В этом случае предел ф-и равен одностороннему пределу.
Пределы ф-и при стремлении аргумента к бесконечности.
О. Пределом ф-и при наз число А такое, что для . Обозначают .
О. Число наз пределом ф-и при + ( -) если для ( ).
Бесконечно большие и бесконечно малые ф-и.
О. Ф-я наз бесконечно малой при , если ; . Н.: явл. бесконечно малой при .
Св-ва бесконечно малых ф-ий:
если ф-я имеет предел при , то можно принять , где – бесконечно малая при
если ф-я представляется в виде , где –бесконечно малая при , то предел при будет равен
сумма конечного числа бесконечно малых ф-ий при будет бесконечно малой ф-ей при
произведение двух бесконечно малых ф-ий при есть бесконечно малая при .
произведение бесконечно малой ф-и при на ограниченную ф-ю есть бесконечно малая ф-я, при
произведение бесконечно малой ф-и при на постоянную есть бесконечно малая при .
О.Ф-я наз бесконечно большой при , если можно найти такое число , что при .
Бесконечно большая ф-я при не имеет предела. Условно говорят, что и пишут .
Вопрос №18. Основные теоремы о пределах ф-ии.
Замечательные пределы.
Т. Ф-я не может иметь более 1-го предела при .
Т. Если каждая из ф-ий и имеет предел при , то их сумма, разность, произведение также имеют пределы. Причем предел при
Если кроме того , то сущ-ет предел частного причем предел частного равен частному пределов.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
Следствие 2. Если , то
Т. Пусть ф-и определены в некот окрестности точки . Если для из этой окрестности вып-тся нер-во и ф-и (1), (2) имеют одинак. пределы при , то ф. (3) имеет тот же предел при .
Т. Пусть ф. определена в нек-ром промежутке, содержащем и если при ф-я имеет «+»(«-«) предел, то найдется такая окрестность точки , что для из этой окрестности ф.- «+» («-«).
Т. Если ф. и определены в нек-ром промежутке, содержащем точку и для из этого промежутка кроме вып-тся нер-во причем ф. и М имеют пределы при , тогда .
О. Отношение двух ф. есть неопределенность вида (или ) если и бескон. малые (беск. большие). В этом случае о пределе частного нельзя ничего определенного сказать, он может быть =0, = постоянной или =. Раскрыть эти неопределенности значит вычислить предел если он сущ-ет или док-ть, что он не сущ-ет.
1-метод раскрытия неопределенности-сокращение общего множителя.
2-метод: деление на степень .
разделим на
3-метод: первый замечательный предел.
;
4-метод: 2-ой замечательный предел.