Асимптоты.

Если график ф-и сколь угодно близко приближается к прямой, то такую прямую наз-ют асимптотой.

О. Прямая наз вертикальной асимптотой графика ф-и , если хотя бы одно из предельных значений стремится к .

О.Предположим, что определена при сколь угодно больших по модулю значениях аргумента (будем рассм. «+» значения). Прямая наз наклонной асимптотой графика ф-и , если эта ф-я представлена в виде , где –бесконечно малая, то 0, при .

Т. (необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты). График ф-и имеет при наклонную асимптоту , если сущ-ют 2 конечных предела. и

Исследование ф-и и построение графика:

Найти область определения (Д)

обл. значений

четность и периодичность

точки пересечения с осями координат

изучить поведение ф-и при стремлении аргумента к концам обл. определения.

точки экстремума и промежутки  и 

промежутки выпуклости ф-ий, точки перегиба

асимптоты графика

построить график ф-и.

О. Ф-я наз четной, если: 1) ; 2)

О. Ф-я наз периодической, если сущ-ет такое Т0, что 1) ; 2)

Вопрос №30.Неопределенный интеграл, его основные св-ва и м-ды интегрирования.

Понятие о первообразной функции.

определенная на интервале АВ, наз первообразной данной функции f(x) в этом промежутке, если для любого Є(a,b)

F(x) =sin x, F(x) =ln x, f(x) =cos x; f(x) = .

Теорема: если f(x) - первообр., то множ-во также явл. первообр.

Неопределенный интеграл и его св-ва.

О.Если ф-я F(x)-первообразная ф-и f(x), то множ-во всех первообр. наз-ют неопределенным интегралом от f(x) и обозначают

f(x)- подинтегр ф-я, f(x) dx – подинтегр выражение; операция нахождения неопр. интеграла наз интегрированием.

Св-ва:

Производная неопр. интеграла = подинтегральной ф-и. Дифференциал от неопр. интеграла = подинтегральному выражению.

Неопр. интегр от диф-ла некот ф-и = этой ф-и с точностью до постоянной.

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

,

Если ф-и f(x) и g(x) имеют первообр., то ф-я f(x)+ g(x) также имеет первообр.Причём

Таблица неопр. интегралов:

;

Понятие об основных методах интегрирования.

М-д непосредственного интегрирования.

Пример:

М-д замены переменной.

Теорема: если F(x)-первообр. f(x), -дифференц. ф-я. Тогда также имеет первообр. Причем

Док-во: По правилам диф. сложной ф-и дает , т.е. -одна из первообр. для . След-но .

Поскольку совпадает с , тогда

Пример:

М-д интегрирования по частям основан на след. форме:

Интегрирование простейших рациональных дробей.

Интегрирование тригонометрических ф-ий.

Вычисл интеграла вида , , ,

сводится к вычислению интегралов от рац. ф-ий, роль переменной играет t. если R(sin x cos x) явл. нечетной относительно sin x, то вводят замену cos x= t. Если R(sin x cos x) явл. нечетной относ-но cos x, то вводят замену sin x= t. Если ф-я R (sin x cos x)явл. нечетной относ-но sin x и cos x, то вводят замену tg x=t.

Интегрирование иррац. ф-и

Интегралы типа

вычисляются путем полного квадрата под радикалом и дальнейшей заменой

Тригонометрическая подстановка

Интегралы вида

с помощью замен сводятся к интегралам от рац. ф-ий.

Вопрос №31. Определенные интегралы.

Опред. интеграл и его приложения.

О. Определенным интегралом от ф-и на наз конечный предел её интегральной суммы, когда число элемент. отрезков неограниченно возрастает, а длина наиб. из них стремится к нулю. Обозначается:

Число a наз нижним пределом интегрирования, b- верхним пределом интегрирования, f(x)- подинтегр ф-ей, х-переменной интегрирования.

По определению

(1)

след-но велич опред интегр не зависит от переменной интегрир, т.е.

Ф-я, для к-рой существует предел (1) наз интегрированием на .

Геом. смысл определенного интеграла состоит в том, что =S криволин. трапеции, ограниченной сверху графиком ф-и (f(x)≥0), снизу осью Ох, слева и справа- прямыми х=а и х=в.

Св-ва опред. интеграла:

при перестановке пределов интегрирования, знак определенного интеграла меняется на противоположный

если и интегрируемы на ф-и, тогда ± также интегрируемы. Причем

св-во аддитивности. Пусть разбит на элементарных отрезков след. образом , тогда постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

если интегрируема на (a<b), причем f(x)≥0, тогда

пусть ф-и f(x) и g(x) интегрируемы на (a<b) и на всем отрезке f(x) ≤ g(x). Тогда

пусть ф-я f(x) интегрируема на (a<b), тогда также интегрируема на , причем

Теорема. (об оценке опред. интеграла). Если ф-я интегрируема на (a<b) и для всех вып-тся нерав-во , тогда

Теорема. (о среднем значении) Если ф-я непрерывна на , то на этом отрезке существует точка с, такая что

Опред. интеграл с переменным верхним пределом(ОИПВП).

Рассм. ф-ю , интегрируемую на . Пусть , тогда интегрируема на любом отрезке .Предпол, что х меняется на этом отрезке, тогда определена ф-я Ф(х)= . Данную ф-ю наз ОИПВП. ОИПВП явл. непрерывной на ф-ейесли явл. непрерывной, то производная с ОИПВП= значению подинтегральной ф-и для данного предела интегрирования, т.е.

ОИПВП явл. одной из первообр. для непр. подинтегральной ф-и.

Теор.(ф-ла Ньютона-Лейбница). Пусть ф-я непрер на , тогда если ф-я F(x) явл. некот её первообр. на , то справедлива след. ф-ла

Основные методы интегрирования:

Т. (о замене переменной в определенном интеграле). Пусть -непрерывна на ф-я, тогда если: 1)ф. дифференцируема на и –непрерывна на . 2)множ-вом значений ф-и явл. . 3) , . тогда справедлива ф-ла:

По ф-ле Ньютона-Лейбница, где - нек-рая первообразная на .

Т. (об интегрировании по частям) Если ф-и и непрерывны вместе со своими производными и на , то справедлива след. ф-ла:

Приложение определенного интеграла.

Площадь криволинейной трапеции.

Опред. интеграл от неотриц. непр-ной на ф-и , ограниченной сверху графиком ф-и , снизу осью Ох, слева и справа прямыми

Длина дуги кривой.

Пусть плоская кривая задана уравнением , где -непрерывная на отрезке ф-я. Если производная также непрерывна на , то тогда

Площадь поверхности вращения.

Пусть кривая АВ задана ур-нием , и пусть ф-я неотриц. и непрерывна вместе со своей производной на , тогда поверхность вращения, образованная вращением кривой АВ вокруг оси Ох имеет площадь, к-рая выражается ф-лой:

Объём тела вращения.

Рассм. нек-рое тело и вычтем его объем. Допустим, что известны площади сечений этого тела плоскостями перпендикулярными оси Ох. С изменением х, меняются площади сечений, т.е. площади сечений явл. нек-рой ф-ей от х. Тогда , где непрерывна на . В частности если тело образовано вращением части кривой , , тогда площадь сеч.: , тогда

Вопрос №32. Несобственные интегралы.

При введении понятия опред. интеграла предполагалось, что выполняются след. условия:

Пределы a и b явл. конечными

Подинтегральная ф-я явл. ограниченной на , в этом случае опред. интеграл наз-ют собственным. Если хотя бы одно из двух условий не вып-тся, то интеграл называют несобственным.

Интегралы с бесконечными пределами.

Пусть ф-я непр. при любых . Рассм. опред. интеграл с переменным верхним пределом . Предположим, что при ф-я имеет конечный предел, этот предел наз-ют сходящимся несобственным интегралом от ф-и по промежутку и обозначают

Если же этот предел не существует или = бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся. Геометрически несобственный интеграл выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком ф-и , слева- прямой снизу - осью Ох. Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом. Если несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами, то будем полагать , где с – любая точка .

Т.1. Если при выполнены след. нер-ва: и сходятся, то сходится и причём . Если же -расходится, то расходится и .

Т.2. Если в промежутке от ф-я меняет знак и сходится, тогда сходится .

Интегралы от неограниченных функций.

Если ф-я не ограничена в окрестности точки и непрерывна при , cxb, то несобственный интеграл , где t и k0

Несобственный интеграл от неограниченной ф-и наз=тся сходящимся, если существует конечный предел соотв-щего опред. интеграла. В противном случае собственный интеграл наз расходящимся. Для интеграла от неограниченных ф-ий справедливы теоремы, аналогичные теоремам 1,2. ( 1-сходится, 1-расходится).

Вопрос №29. Функции нескольких переменных.

Рассм. арифметическое -мерное пр-во 

Пусть подмнож-во множ-ва . –нек-рое множ-во элементов , если каждому элементу ставится в соотв-е единственный элемент , то говорят, что на множ-ве задана ф-я

О. Пусть имеется переменных величин и каждому значению из некоторого множ-ва соотв-ет одно, вполне определенное значение переменной . Тогда говорят, что задана ф-я нескольких переменных .

Ф-ла задает объем цилиндра, как ф-ю двух переменных . переменные величины называют независимыми переменными или аргументами. –зависимая переменная. Символ обозначает з-н соотв-я, множ-во – область определения.

Рассм. нек-рые примеры ф-и нескольких переменных. Ф-я 1) , -называется линейной; 2) -квадратичная ф-я.