Однородные ду
Ф-ия f(x,y) наз однородной измерения М если имеет место тождество f(xt,yt)=tm(x,y)
f(x,y) = x2-3xy+2y2
f(tx,ty)=(tx)2-3(tx)(ty)+2(ty)2=t2(x2-3xy+2y2)=t2f(x,y) – однородная ф-ия измерения t.
Ур-е M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 наз однородным ДУ 1-го порядка, если ф-ии M и N однородные ф-ии одного и того же измерения.
С помощью подстановки y=ux, где u – искомая ф-ия, зависящая от x, ур-е сводится к ур-ю с разделяющимися переменными.
Линейные ДУ 1-го порядка: Ур-е вида y’+p(x)y=q(x)
Для реш-я исп-ют подстановку y=uv; dy=vdu+udv
Ф-ию
подбирают т.о., чтобы 
=0.
Метод Лагранжа.
Линейное
ДУ 1-го порядка наз линейным если 
Y’+py=0
Для ур-й 1-го порядка это ур-е с разделяющимися переменными. Метод Лагранжа заключается в следующем: сначала мы решаем соответственно однородное ур-е, полученная ф-ия содержит С. Для реш-я исходного ур-я подбираем С т.о., чтобы реш-е однородного ур-я давало реш-е исходного, считая С зависящей от x.
37. ДУ второго порядка
Общий
вид: F(x,y,y’,y’’)=0.
Общее реш-е содержит 2 независимые
произвольные постоянные с1
и с2.
Если заданы начальные условия y(x0)=y0,
y’(x0)
= y’0,
то из с-мы 
можно найти произв постоянные с1
и с2,
тем самым найти частное реш-е 
Ур-я 2-го порядка решаются путём применения неопределённого интегрирования в след случаях:
1.
Пусть
;
;
;
;
+c
2.
Положим
,
тогда 
=>
данное ур примет вид: 
,
те получаем ур 1-го порядка с разделяющимися
переменными.
Однородные
линейные ДУ 2-го порядка
имеет
вид:
; p,q
– нек действительные числа.
Искать
решение в виде 
λ2+pλ+q=0 – характеристическое ур-е.
1
случай:
ур-е имеет 2 действит корня, λ1≠
λ2,
тогда общее реш-е имеет вид: 
2 случай: ур-е имеет 2 действит совп корня λ1= λ2= λ
Общее
реш-е: 
3
случай:
корни квадратного ур-я мнимые: λ1,2=
,
Общий
вид: 
Линейные
неоднородные ДУ 2-го порядка с постоянными
коэффициентами: 
Т.
Общее реш-е неоднородного ЛДУ 2-го порядка
с пост коээф-ми равно 
решения соответствующего однородного
ур-я и частноо реш-я исходного неоднородного
ур-я.
Нахождение частного реш-я неоднородного ур-я:
1.
Пусть правая часть – показательная
ф-ия, 
a≠0:
а)
m
не явл корнем характеристического
многочлена, тогда частное реш-е в виде:
б)
если характеристическое ур-е имеет 2
разл действ корня, один из кот-х = m,
то частное реш-е в виде: 
в)
если корни характеристического ур-я
совпадают и равны m,
то частное реш-е в виде: 
2.
Правая часть неоднородного ур-я –
тригонометрическая ф-ия 
Частное
реш-е в случае, когда ± ki
не явл-ся корнем характеристического
ур-я 
Если
же ki
явл корнем хар-го ур-я, то частное реш-е
в виде: 
3. Правая часть линейного ур-я предст собой многочлен Pn(x), тогда частное реш-е в случае когла q≠0 будем искать в виде Qn(x)
Если q=0, p≠0, тогда в виде xQn(x).