- •Вопрос №1. Декартова прямоугольная и полярная с-ма коорд.
- •Гипербола.
- •Вопрос №9.Системы линейных уравнений.
- •3 Вектора , и наз компланарными, если они лежат в одной плоскости. Сумма 2х векторов и -вектор , начало кот совпадает с началом вектора , а конец – с концом .
- •Предел ф-и.
- •Бесконечно большие и бесконечно малые ф-и.
- •Вопрос №20.Производная и дифференциал ф-ции. Правило дифференцирования.
- •Теорема Лагранжа.
- •Признак и .
- •Асимптоты.
- •Неопределенный интеграл и его св-ва.
- •Предел.
- •Частные производные 1-го порядка
- •Экстремум ф-и двух переменных.
- •Вопрос №33.Понятие двойного и тройного интеграла.
- •Однородные ду
3 Вектора , и наз компланарными, если они лежат в одной плоскости. Сумма 2х векторов и -вектор , начало кот совпадает с началом вектора , а конец – с концом .
Если и имеют общее начало, то сумма совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.
С в-ва суммы:
Разностью 2х векторов и наз , такой, что . Обозн
Произведение вектора , отличного от , на число , наз вектор , , удовлетворяющ. след. условиям:
и коллинеарны
если , то векторы одинаково направлены, если -противоположно направлены.
Св-ва:
Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда , для нек-рого действительного числа .
Проекция вектора на плоскость
П усть в пр-ве задана нек-рая ось и нек-рый вектор АВ. Проекцией вектора АВ на ось наз величина вектора ,взятая со знаком «+», если направление совпадает с направлением оси и со знаком «-«- если направлен противоположно.
Св-ва:
Координаты вектора.
Пусть в пр-ве задана прямоуг. с-ма координат и произвольный вектор АВ.
Пусть
Проекции вектора АВ наз-ют координатами
Т. Для любых двух точек А и В координаты АВ определяются по ф-ле
Длина вектора.
Пусть произвольный вектор . Построим равный ему вектор, начало к-рого совпадает с началом координат. Проведем через конец вектора плоскости осям координат. Вместе с координатными осями и координатными плоскостями образуют прямоугольный параллелепипед, диагональю к-рого служит отрезок ОА.
Вопрос №11.Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.
Р азложение вектора по базисным векторам.
Пусть задана прямоуг. с-ма координат. Введем в рассмотрение единичные векторы, коорд. осей . -базисные вектора с-мы координат или орты. -произвольный вектор пр-ва. Отложим из начала координат вектор . По св-вам координат . Пусть числу на оси Ох соотв-ет точка , на . Тогда , ,
- ф-ла разложения по базисным векторам.
Пр. (1;2;3)
(1;0;0)+2(0;1;0)+3(0;0;1)=
Скалярное произведение векторов.
О.Скалярное произведение двух векторов и – число, равное произведению их модулей на угла между ними.
Св-ва:
тогда и только тогда, когда
угла между векторами вычисляется по ф-ле:
Т. Если векторы имеют координаты ; , тогда
Правые и левые с-мы координат.
Три некомпланарных вектора в указанном порядке наз-ют тройкой векторов.
П усть отложены из одной точки, будем смотреть из конца вектора на плоскость, содержащую и . Если кратчайший поворот от к осуществляется против часовой стрелки, то тройка векторов наз правой тройкой, если по часовой-то левой.
Векторное произведение векторов.
О. Векторным произведением на наз , к-рый удовлетворяет след. условиям:
каждому из векторов и
тройка векторов
Св-ва:
и -коллинеарны только тогда, когда =0
площадь параллелограмма, построенного на векторах и = модулю векторного произведения
Т. Пусть , , тогда
Разложим и по базисным векторам
=
x |
i |
j |
k |
i |
|
|
|
j |
|
|
|
k |
|
|
|
Смешанное произведение
Пусть даны 3 вектора . Умножим векторно, а полученный р-т скалярно на . В р-те получим число , называемое смешанным произведением векторов .
Смешанное произведение 3-х некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «+», если тройка правая и со знаком «-« - если правая.
Следствие. компланарны только тогда, когда их смешанное произведение =0.
Т. Пусть , , , тогда
Вопрос №12. Плоскость в пространстве.
Ур-ние плоскости по точке и норм. вектору.
П усть дана точка и плоскости. Пусть -произвольная точка плоскости. Рассм. вектор
(1) (2)
(1)-ур-ние по точке и нормальному вектору, (2)-общее ур-ние плоскости.
Частные случаи:1)если , то плоскость проходит через начало координат
2)если , тогда оси . След-но плоскость параллельна оси
3) плоскость проходит через ось
4) плоскость параллельна плоскости
5) плоскость определяет координатную плоскость
Ур-ние плоскости, проходящей через 3 данные точки
Р ассм. 3 точки, не лежащие на одной прямой , , . Рассм. произвольную точку , лежащую в этой плоскости. Рассм. .
, ,
т.к. компланарны, то их смешанное произведение =0, т.е. - ур-ние плоскости по 3 точкам.
Взаимное расположение двух плоскостей.
Пусть даны 2 плоскости 1-ая плоскость имеет , . Если плоскости параллельны, то и коллинеарны. Поэтому – условие параллельности плоскостей. –условие совпадения плоскостей. Если условие параллельности не выполняется, то плоскости пересекаются. В частности плоскостей равносильна их нормальных векторов.
- условие перпендикулярности.
Угол между двумя плоскостями.
-угол между их нормальными векторами, т.е.
Вопрос №13. Прямая в пр-ве.Векторно-параметрическое ур прямой.
Направляющим вектором прямой наз любой вектор, лежащий на прямой или параллельной ей.
Составим ур прямой, проходящ. через . Отложим из вектор . Пусть -произвольная точка прямой - её радиус вектор. Тогда .
- векторно-параметрическое ур-ние прямой.
Параметрическое ур-ние прямой
В векторно-параметрическое ур-ние подставим координату векторов. Тогда
-параметрическое ур-ние прямой.
Выразим в каждом из ур-ний параметр .
- каноническое ур-ние.
Ур-ние прямой, проходящей через две данные точки.
Пусть прямая прох через точки и . В кач-ве направляющего вектора данной прямой можно выразить вектор .Будем составлять ур прямой, проход. через . Получим
-ур-ние прямой, прох через две данные точки.
Угол между двумя прямыми. Рассм. 2 прямые с направляющими векторами и . Угол между прямыми = углу между их направляющими векторами, т.е.
- условие перпендикулярности.
Прямые если их направляющие вектор коллинеарные. .
Взаимное расположение прямых в пр-ве.
Пусть даны две прямые и . Очевидно, что прямые лежат в одной плоскости, если вектора и – компланарны, т.е. определитель будет =0.
Если в определителе первые две строки пропорциональны, то прямые . Если все 3 строки пропорц., то прямые совпадают. Если определитель =0 и первые 2 строки не пропорциональны, то прямые пересекаются. Если данный опред. отличен от нуля, то прямые скрещиваются.
Вопрос №14.Прямая как пересечение двух плоскостей.
Пусть даны 2 плоскости и (*). Если плоскости не явл. параллельными, то нарушается условие . Пусть например . Найдем ур-ние прямой, по к-рой пересекаются плоскости. В кач-ве направляющего вектора можно взять вектор . Подставим в с-му (*) и найдем
По предположению , т.е. опред. матрицы с-мы отличен от 0. След-но с-ма имеет единственное решение ( ). Тогда искомая точка имеет координаты ( ; ), а ур-ние прямой примет вид
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Пусть задана плоскость и прямая . Чтобы найти общие точки необх реш с-му
если , то с-ма имеет единственное решение. В этом случае прямая и плоскость пересекаются в единственной точке , где
если , то решений нет, т.е. прямая и плоскость параллельны.
и . С-ма имеет бесконечное множ-во решений, т.е. прямая принадлежит плоскости.
Угол между прямой и плоскостью.
Найдем угол между прямой и плоскостью
;
Расстояние от точки да плоскости.
Пусть плоскость задана общим ур-нием . Расст. от до данной плоскости вычисляется по ф-ле
Вопрос №15. Цилиндры второго порядка.
Цилиндрическая поверхность-поверхность, описываемая прямой (образующей движущийся вдоль нек-рой линии направляющей) и остающейся параллельной исходному направлению.
Цилиндр второго порядка - цилиндрическая поверхность, направляющей к-рой явл. эллипс(окружность), гипербола или парабола.
Эллиптический цилиндр.
Гиперболический цилиндр
Параболический цилиндр.
Поверхности вращения второго порядка.
О Поверхностью вращения 2-го порядка наз пов-сть, образованная вращением линий 2-го порядка вокруг ее оси.
Эллипсоид вращения.
При вращении эллипса вокруг оси . Получим пов-сть, к-рая наз эллипсоидом вращения
Однополостный гиперболоид образуется при вращении гиперболы вокруг оси .
Двуполостный гиперболоид образуется при вращении гиперболы вокруг оси . .
К онус вращения: образуется вращением прямых вокруг оси .
Параболоид вращения: вращением вокруг оси
16. Понятие линейного пространства.
Линейным (векторным) пространством наз не пустое множество V с заданными на нём операциями сложения и умножения на число, удовлетв след условиям:
1) x+y=y+x для люб x,y ЄY
2)(x+y)+z=x+(y+z) для люб x,y,z ЄV
3) сущ-ет эл-т eЄV, такой что ; e – нулевой элемент
4) , y – противоположный эл-т
5) V
6)
7)
8) (
В дальнейшем под числами будем понимать только действительные числа, V – линейное пространство над полем действительных чисел. Эл-ты пространства V наз-ся векторами. Нулевой вектор - , противоположный x, как -x.
Нулевое векторное пространство – состоящее из одного нулевого вектора. - мн-во комплексных чисел, являющихся векторным пространством.
Лемма:
1) V сущ-ет единств нулевой эл-т
2) сущ-ет единств противоположный эл-т
3)
4)
5) если то либо =0, либо x =0.
6) - противоположный эл-ту x
Линейная зависимость и независимость векторов
Конечная с-ма векторов простр-ва V наз линейно зависимой, если найдутся такие числа , из кот-х хотя бы одно ≠0, такие что (совп с нейтральным эл-том).
В противном случае с-му наз линейно независимой.
Лемма. Система векторов простр-ва V явл-ся линейно зависимой, если один из векторов линейно выражается через остальные.
Выр-е вида наз линейной комбинацией векторов
Сис-ма векторов наз базисом пространства V , если:
1) с-ма векторов линейно независима
2)любой вектор пр-ва V линейно выр-ся через
Число n называется размерностью простр-ва V, если в этом пространстве сущ-ет n линейно независимых векторов, а любые n+1 векторы линейно зависимы.
Т. В простр-ве V разм-ти n любая с-ма, состоящая из n линейно независимых векторов, образует базис.
Если - базис простр-ва V, то называют разложением вектора x по векторам базиса. В этом случае наз координатами вектора x в базисе
Вопрос №17. Функция. Предел ф-и.
Ф-я. Рассм. множ-во элементов и множ-во элементов . Если каждому элементу из поставлен в соотв-е единственный элемент из обозначаем , то говорят: на множ-ве задана ф-я со значениями в множ-ве . Элементы значение аргумента; -значение ф-и; множ-во –область определения; множ-во всех значений ф-и – областью значений ф-и.
К основным способам задания ф-и относят:
1. Аналитический. Ф-я, заданная ф-лой , правая часть к-рой не содержит наз явной ф-ей. Ф-я наз заданной не явно.
2. Табличный способ- способ задания ф-ии при помощи таблицы (Н.:логарифмич. таблицы, тригонометрические и т.д.)
3. Графический-при помощи графика. Графиком ф-и наз множ-во точек плоскости с координатами плоскости , где .
сложная ф-я или композиция.
Степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические наз основными элементарными ф-ями. Элементарными наз ф-ии, к-рые можно получить из основных элементарных с помощью алгебраических действий и композиций.