Предел.

Множ-во точек , координаты к-рых удовлетворяют нер-ву  наз-ся  -окрестностью точки .

О. Пусть нек-рая ф-я определена в нек-рой окрестности точки кроме самой точки . Число А наз пределом ф-и при , или . Если для любого существует , такое что для всех и из -окрестности точки вып-тся нер-во <.

, <

Предел ф-и двух переменных обладает св-вами, аналогичными св-вам предела ф-и одной переменной. О.Ф-я наз непрерывной в точке если:

она определена в

имеет конечный предел при ,

этот предел = значению ф-и, т.е. .

Частные производные 1-го порядка

Пусть задана ф-я , т.к. и – независимые переменные, то одна из них может меняться, а вторая оставаться неизменным. Придадим переменной приращение , а оставим неизменной, тогда получит приращение, к-рое наз-ют частным приращением и обозначают . Аналогично определетяется

частное приращение по . .

Полное приращение наз-ют . Если существует предел , то он наз частной производной ф-и в точке по переменной и обозначается

Частное производное по в точке обозначается . Аналогично определяется частная производная по . . Т.о. частная производная ф-и нескольких переменных определяется как производная ф-я одной переменной, считая остальные постоянными. Поэтому частные производные находят по ф-лам и правилам вычисления ф-и одной переменной.

Частные производные высших порядков.

Частные производные наз-ют частными производными первого порядка. Эти ф-и могут иметь частные производные, к-рые наз-ют частными производными 2-го порядка.

; ; ;

Т. (теорема Шварца) Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся порядком дифференцирования равны между собой. В частности для ф-и двух переменных

Дифференцируемость. Полный дифференциал.

Пусть ф-я определена в нек-рой окрестности точки М с корд. .Напомним, что .

О. Ф-я наз дифференцируемой в точке М , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде , где и при и .

Сумма первых двух слагаемых наз главной частью приращения ф-и, к-рую наз-ют полным дифференциалом и обозначают . Для независимых переменных и полагают тогда .

Т. Необходимое условие дифференцируемости. Если ф-я дифференцируема в точке М , то она в этой точке непрерывна и имеет частные производные.

. Т.о. полный дифференциал ф-и вычисляется по ф-ле

Т. Достаточное условие дифференцируемости. Если ф-я имеет частные производные в точке М , то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал вычисляется по ф-ле . Из определения дифференциала следует, что при достаточно малом и имеет место приближенное рав-во

Так , то имеем ф-лу .

Пр. Вычислить . , тогда . , ; Тогда 1,02^3,011+3*0,02+0=1,06

Экстремум ф-и двух переменных.

Пусть ф-я определена в нек-рой области и пусть . Т. наз точкой максимума ф-и , если существует такая – окрестность т. , что для любой точки из этой окрестности вып-тся нер-во  . Аналогично определяется т. минимума. Для всех точек из – окрестности  значение ф-и в точке максимума (минимума) наз максимальным (минимальным) значением или . называют экстремумом.

В силу определения т. экстремума лежит внутри области определения ф-и. имеют локальный хар-р. В области определения ф-я может иметь неск-ко экстремумов.

Т. Необходимое условие экстремума. Если в точке дифференцируемая ф-я имеет экстремум, то в этой точке частные производные =0.

О. Точка, в к-рой частные производные =0 наз стационарной. Стационарные точки, а также точки, в к-рых хотя бы одна из частных производных не существует наз-ют критическими. Для нахождения точек экстремума необходимо каждую критическую точку в области определения подвергнуть доп. исследованию.

Т. Достаточное условие экстремума. Пусть стационарные точки и нек-рой ее окрестности ф-я имеет непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно. Вычислим в точке значение

Составим определитель . Тогда 1)если 0, то в т. –экстремум . Причем, если А0 – максимум, если А0–минимум. 2)Если 0, то ф-я в т. экстремума не имеет. 3)В случае, когда =0, экстремум в ф-и может быть, а может и не быть.