7.3. Ряд Фурье в комплексной форме

Комплексная форма записи ряда Фурье является более удобной и полезной в практических расчетах электрических цепей при несинусоидальных воздействиях. Так, символическая запись комплекса мгновенного значения при синусоидальном воздействии вида будет

.

(7.12)

Комплексную амплитуду можно определить, используя выражения (7.3), (7.4):

.

(7.13)

Зная комплексную амплитуду (7.13), ряд Фурье (7.1) записываем, используя известные нам правила перехода от комплексных значений к мгновенным:

.

(7.14)

Выражение для постоянной составляющей:

(7.15)

можно рассматривать как частный случай формулы (7.13) при и , тогда выражение (7.14) можно записать как

.

(7.16)

Совокупность комплексных амплитуд всех гармоник исходной несинусоидальной функции можно рассматривать, как дискретные частотные характеристики (спектры) этой функции: F_m(k)(k) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ); _(k)(k) – фазо-частотная характеристика (ФЧХ). Эти характеристики принято изображать на графике в виде линейчатых спектров, в которых расстояние между спектральными линиями . С увеличением периода плотность спектральных линий возрастает.

Теоретически ряд Фурье содержит бесконечно большое число членов, однако ряд быстро сходится и при расчете можно ограничиться небольшим числом гармоник. По амплитудному спектру можно судить о соотношениях между амплитудами гармоник и определить полосу частот, в пределах которой

сигнал несет основную долю энергии. Пример 7.3 Периодическое колебание, изображенное на рис. 7.4, разложить в ряд Фурье. Решение
	Рис. 7.4

Коэффициенты комплексного ряда Фурье для функции

имеют вид

.

(7.19)

Из (7.19) амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики:

; .

(7.20)

Если , то и (7.20) получается в виде

.

(7.21)

Результаты расчета амплитудно-частотной характеристики при приведены в табл. 7.2.

Таблица 7.2

	0	1	2	3	4	5
Fm(k)			0		0

Если , то и (7.20) получается в виде

.

(7.22)

Результаты расчета амплитудно-частотной характеристики при приведены в табл. 7.3.

Таблица 7.3

k	0	1	2	3	4	5
Fm(k)

Из сравнения табл. 7.2 и 7.3 можно отметить, что при ширине импульса отсутствуют четные гармоники, а при ширине импульса отсутствуют гармоники кратные четырем.

7.4. Приближенные методы разложения в ряд Фурье

В большинстве случаев при выполнении разложения функции в ряд Фурье (7.1), (7.2) или (7.12) используют таблицы. Однако в некоторых случаях расчет коэффициентов ряда Фурье приходится проводить численными методами. При численных методах расчета коэффициентов ряда Фурье большую роль играет теорема отсчетов, впервые полученная Коши в 1841 г.

Функция с конечным числом гармоник может быть полностью задана своими значениями в точках, следующих с интервалом, не превосходящим 1/2 f секунд, где f – максимальная частота в разложении функции в ряд Фурье. При этом в остальных точках значения функции вычисляется по интерполяционной формуле

.

(7.23)

Замена непрерывного сигнала дискретным необычайно важна на практике. Действительно, информация о сигнале с периодом Т содержится только в N=2 f T значениях сигнала. Это сокращает время, в течение которого канал связи занят передачей сигнала и позволяет осуществлять одновременную передачу нескольких сигналов по одному каналу связи.

В качестве иллюстрации вычислим минимальную полосу частот, необходимую для передачи стандартного черно-белого телевизионного сигнала. Пусть разрешающая способность телевизионного изображения составляет 500 строк по 650 элементов в строке в каждом кадре при скорости 30 кадров в секунду. При сканировании изображения яркость каждой его точки передается амплитудой видеосигнала. Если максимальная частота видеосигнала составляет f Гц, то согласно теореме отсчетов он может быть представлен независимыми выборками, следующими с интервалом, не превосходящим 1/2f секунд. Таким образом, МГц. Эта оценка достаточна точна. Для передачи телевизионного сигнала в действительности используется полоса частот около 6 МГц.

Численные методы основаны на замене определенного интеграла суммой конечного числа слагаемых. При определении количества слагаемых в сумме необходимо учитывать следующие обстоятельства. Разложение в ряд Фурье имеет смысл выполнять только для диапазона частот, в котором справедлива рассчитываемая схема замещения реального электротехнического устройства. Таким образом, оценку необходимого интервала можно провести при помощи теоремы отсчетов, т.е. минимальный интервал разбиения составляет 1/2f секунд, где f – верхняя граница диапазона частот, в котором электротехническое устройство можно заменить рассматриваемой моделью.

Теорема отсчетов дает интервал разбиения, больше которого вычисления соответствующих коэффициентов становятся некорректными. На практике для увеличения точности вычислений берется интервал от 1/3 f до 1/5 f секунд.

Более точную оценку интервала частот можно провести по энергетическому спектру сигнала. Как только суммарная мощность вычисленных гармоник составит n процентов от мощности сигнала, вычисления коэффициентов для высших гармоник можно прекратить. Естественно, число n определяется необходимой точностью расчета. Более подробно об энергетическом спектре изложено в п. 7.7.

На каждом участке площадь подъинтегральной функции (интеграл) вычисляется, как площадь прямоугольника (рис. 7.5,а) или

(рис. 7.5,б), площадь трапеции (рис. 7.5,в) или другой более сложной фигуры (см. справочники по численным методам).

Для примера рассмотрим вычисления коэффициентов разложения в ряд Фурье при замене интеграла на участке площадью прямоугольника . Сначала период функции разбиваем на n равных частей: . Количество точек разбиения принимаем равным 4Т f. Индекс p используют для нумерации участков разбиения. Тогда координаты границ участков равны . Затем при расчете коэффициентов ряда Фурье заменяем интеграл на сумму:

;

=

;

=

.

(7.24)