- •Глава 7 периодические несинусоидальные токи в линейных электрических цепях
- •7.1. Причины отклонения переменных токов
- •От синусоидальной формы
- •7.2. Представление периодических несинусоидальных токов в виде рядов Фурье
- •7.3. Ряд Фурье в комплексной форме
- •7.4. Приближенные методы разложения в ряд Фурье
- •7.5. Действующие и средние значения периодического сигнала
- •7.6. Приборы для измерения несинусоидальных токов и напряжений
- •7.7. Мощность в цепи периодического несинусоидального тока и напряжения
- •7.8.3. Конденсатор
- •7.9. Методика расчета цепей несинусоидального тока
- •Пример 7.6
- •Пример 7.8
- •Пример 7.9
- •Решение
- •Решение
- •7.10. Высшие гармоники в трехфазных цепях
- •Пример 7.6
- •Пример 7.8
- •Пример 7.9
- •Решение
- •Решение
- •7.10. Высшие гармоники в трехфазных цепях
- •Пример 7.11
- •Пример 7.12
- •Решение
- •Пример 7.13
- •Решение
- •Пример 7.15
- •Контрольные вопросы
7.7. Мощность в цепи периодического несинусоидального тока и напряжения
Пусть напряжение и ток на элементе электрической цепи записаны в виде комплексных рядов Фурье:
, . |
(7.33) |
Преобразуем выражение активной мощности, применяя методику, использованную при получении равенства (7.25):
|
|
|
(7.34) |
В формуле (7.34) – фазовый сдвиг между напряжением и током k-й гармоники; , – действующие значения напряжения и тока k-й гармоники.
Соотношение (7.34) определяет активную мощность, как сумму активных мощностей гармонических составляющих сигнала, включая и постоянную составляющую. Активная мощность не зависит от начальных фаз отдельных гармоник.
По аналогии с активной мощностью вводится понятие реактивной мощности:
|
(7.35) |
Реактивная мощность в цепи определяется, как сумма реактивных мощностей отдельных гармоник.
Кроме активной и реактивной мощностей, по аналогии с синусоидальными токами вводится понятие полной (кажущейся) мощности, определяемой, как произведение действующих значений тока и напряжения:
. |
(7.36) |
Для k-й гармонической составляющей как для синусоидальной величины полная мощность может быть выражена через активные и реактивные составляющие мощностей гармоник: . В отличие от гармонического сигнала для негармонических сигналов для полной, активной и реактивной мощностей выполняется соотношение , где – мощность искажения.
Другим параметром, характеризующим мощность негармонических колебаний, является отношение активной мощности к полной, которое называется коэффициентом мощности:
|
(7.37) |
Соотношение (7.37) можно рассматривать, как некоторый условный cos, где угол – сдвиг между эквивалентными синусоидами напряжения и тока. Действующие значения этих эквивалентных синусоид приравнивают к действующим значениям несинусоидальных сигналов.
Следует отметить, что существует подход, в котором не определяют мощность искажений , а реактивную мощность определяют не по выражению (7.35). Вместо этого реактивная мощность определяется из выражения для мощностей гармонических сигналов . Такое определение позволяет выявить физический смысл реактивной мощности, как мощности энергообмена между электромагнитными полями генераторов и потребителей.
Наличие высших гармоник крайне неблагоприятно влияет на силовое оборудование, устройства управления и защиты. Для снижения их влияния в электрических цепях устанавливают электрические фильтры. В силовых цепях для этой цели используют компенсирующие устройств.
При анализе электрических цепей возникает необходимость в оценке распределения мощности в спектре периодического сигнала. Для этой цели можно использовать выражение мощности через мощности гармоник в соответствии с равенством Парсеваля (7.27):
Таким образом, по виду огибающей функции можно судить о распределении мощности в спектре периодического сигнала, что позволяет выбирать полосу пропускания цепи, обеспечивающую достаточно полное использование мощности сигнала. Для этого вводится понятие энергетического спектра, т. е. диапазона частот (гармоники от до ), в котором содержится n процентов энергии сигнала:
%.
Рассчитать активные мощности гармонических составляющих сигнала, показанного на рис. 7.7.
Решение
Согласно примеру 7.3 амплитудно-частотная характеристика сигнала имеет вид .
Если продолжительность импульса , то .
Тогда активные мощности гармонических составляющих сигнала:
; ; ; ; ; . |
(7.38) |
Из соотношений (7.38) следует, что мощность первой гармоники преобладает над остальными: ; .
7.8. Влияние элементов электрической цепи
на гармонический состав тока и напряжения
7.8.1. Активное сопротивление
Связь между током и напряжением на активном сопротивлении определяется законом Ома . Тогда, если ток протекает через активное сопротивление, то напряжение на его зажимах
|
Из этого выражения видно, что формы кривых тока и напряжения совпадают.
7.8.2. Катушка индуктивности
Связь между током и напряжением на катушке индуктивности определяется законом электромагнитной индукции . Тогда, если ток протекает через катушку, то напряжение на ее зажимах
.
|
|
Рис. 7.8 |
Рис. 7.9 |
Таким образом, амплитудные значения гармоник тока и напряжения связанны соотношением . Для любой гармоники напряжение опережает ток на 90. В комплексной форме эти соотношения можно записать следующим образом:
.
На рис. 7.8 при показаны графики изменений индуктивного сопротивления , амплитуды гармоник тока и его фазы в зависимости от частоты.
Из графиков видно, что с увеличением номера гармоники сопротивление возрастает пропорционально частоте (рис. 7.8,а), а амплитуда тока уменьшается обратно пропорционально частоте (рис. 7.8,б), т.е. высшие гармоники тока сглаживаются катушкой. Каждая гармоника тока отстает от своей гармоники напряжения на . (рис. 7.8,в).