§ 41. Уравнение плоской волны
Уравнением волны называется выражение, которое позволяет определить смещение колеблющейся частицы упругой среды от положения равновесия как функцию ее координат и времени:
(41.1)
Найдем
вид функции
в случае плоской волны, предполагая,
что колебания частиц среды носят
гармонический характер (в этом случае
волна называется гармонической). Пусть
координатная ось
совпадает с направлением распространения
волны. Тогда волновые поверхности будут
перпендикулярны оси
и, поскольку все точки волновой поверхности
колеблются одинаково, смещение
будет зависеть только от
и
,
т.е.
Пусть
колебания точек, лежащих в плоскости
,
имеют вид
(41.2)
т.е. начальную фазу примем равной нулю. Заметим, что начальная фаза определяется выбором начал отсчета и . При рассмотрении одной волны начала отсчета времени и координат можно выбрать так, чтобы начальная фаза была равна нулю.
Найдем
вид колебания точек в плоскости,
соответствующей произвольному значению
.
Для того чтобы пройти путь от плоскости
до плоскости
,
фронту волны требуется время
,
где
– скорость движения фронта волны.
Следовательно,
колебания частиц, лежащих в плоскости,
соответствующей координате
,
будут отставать по времени на
от колебаний частиц в плоскости
,
т.е. будут иметь вид
(41.3)
Если волна распространяется в направлении, противоположном оси , то уравнение волны примет вид
(41.4)
Уравнению
плоской волны можно придать симметричный
относительно
и
вид. Для этого введем величину
,
называемую волновым
числом.
Волновое число можно также представить в виде
(41.5)
где – круговая частота колебаний.
С учетом соотношения (41.5) перепишем (41.3) в виде
(41.6)
Уравнение (41.6) называется уравнением плоской гармонической волны, распространяющейся в направлении .
В общем случае, когда направление распространения волны не совпадает с осями координат, уравнение плоской гармонической волны имеет вид:
(41.7)
где
– радиус–вектор, определяющий равновесное
положение колеблющейся частицы в момент
времени
,
– волновой вектор, направленный по
нормали к волновой поверхности в сторону
распространения волны и равный по модулю
Выразим
скалярное произведение (
)
через компоненты векторов по координатным
осям:
.
Тогда (41.7) можно представить в виде
(41.8)
§ 42. Фазовая скорость
Фазовой
скосростью
называют скорость перемещения фазы
колебаний частиц среды при волновом
процессе. Для плоской гармонической
волны, распространяющейся в направлении
оси
,
фаза колебаний частиц имеет вид
(42.1)
откуда видно, что фаза есть функция времени и координаты положения равновесия частицы.
Зафиксируем значение фазы
откуда,
(42.2)
с
учетом того, что
.
Полученное выражение определяет связь
между временем
и координатой
,
соответствующей фиксированному значению
фазы. Продифференцировав (42.2), получим
откуда
(42.3)
Таким
образом, скорость распространения
волны и есть скорость
перемещения фазы.