§ 43. Волновое уравнение

Аналогично основному уравнению динамики в области волновых процессов существуют уравнения, являющиеся обобщенным выражением волн, независимо от их конкретного вида. Это дифференциальные уравнения в частных производных, связывающие изменеиия функций, характеризующих волну, во времени и пространстве. Уравнение любой волны является решением волнового уравнения. Получим вид волнового уравнения, исходя из его решения (41.8). Сопоставим вторые частные производные по координатам и времени от функции (41.8), описывающей плоскую волну. Продифференцировав эту функцию дважды по каждой из переменных, получим

Сложим выражения, содержащие вторые производные по координатам,

Полученное уравнение можно записать в виде

(43.1)

где – оператор Лапласа,

– модуль волнового вектора или волновое число.

Продифференцируем переменную дважды по времени:

откуда

(43.2)

Подставляя полученное выражение в соотношение (43.1), получаем

или с учетом формулы (41.5),

(43.3)

Уравнение (43.3) называют волновым уравнением. Это уравнение мы получили, дифференцируя (41.8). Однако решением дифференциального уравнения (43.3) является и ряд других функций. Всякая функция, удовлетворяющая уравнению (43.3), описывает некоторую волну, причем корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при , представляет собой фазовую скорость этой волны. Т.о., уравнение (43.3) в наиболее общем виде описывает волновой процесс. Оно справедливо для однородных изотропных сред, затухание в которых мало, и при условии .

Отметим, что для плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси , волновое уравнение имеет вид

(43.4)

§ 44. Энергия упругой волны

Распространение механических колебаний, представляющее собой последовательную передачу движения от одного участка среды к другому, означает тем самым передачу энергии. Эту энергию доставляет источник волны, когда он приводит в движение непосредственно прилегающий к нему слой среды. От этого слоя энергия передается следующему слою. Т.о., распространение волны создает в среде поток энергии, расходящейся от источника. Представление о потоке энергии, переносимой волнами, впервые ввел русский физик Н.А.Умов.

Потоком энергии через элементарную плошадку называется отношение энергии , проходящей через эту поверхность за промежуток времени , к величине этого промежутка:

(44.1)

Поток энергии – величина скалярная, размерность которой совпадает с размерностью мощности. Для характеристики переноса энергии в разных точках пространства вводится вектор плотности потока , называемый также вектором Умова. Этот вектор направлен в сторону распространения волны и по абсолютной величине равен отношению потока сквозь площадку поверхности к площадке , являющейся проекцией на плоскость, перпендикулярную направлению распространения волны:

(44.2)

где – угол между направлением нормали к площадке и направлением (рис.44.1).

Рис.44.1

За время через переносится энергия , которая заключена в объеме цилиндра с основанием и стороной (рис.44.1)

где – плотность энергии. Т.о., модуль плотности потока энергии равен

Введем вектор , модуль которого равен фазовой скорости волны, а направление совпадает с направлением распространения волны (и переноса энергии). Тогда

(44.3)

Если в некоторой среде плотности распространяется в направлении оси плоская гармоническая волна

то можно показать, что плотность потока энергии изменяется по закону:

(44.4)

т.е. в каждый момент времени в разных точках пространства она различна. В одной и той же точке среды плотность энергии изменяется со временем по закону квадрата синуса. Т.к. среднее значение квадрата синуса равно , то среднее значение плотности энергии за период

(44.5)

Т.о., плотность энергии и ее среднее значение пропорциональны плотности среды , квадрату частоты и квадрату амплитуды .

В случае монохроматической волны вектор , как и плотность энергии, изменяется со временем по закону квадрата синуса. Поэтому среднее по времени значение вектора Умова с учетом (44.4) можно записать как

(44.6)

Это выражение справедливо для любого вида волн – плоской, цилиндрической, сферической, затухающей и др.

Модуль среднего по времени значения плотности потока энергии, переносимой волной, называют интенсивностью волны: Для монохроматической волны

.

Т.о., интенсивностью волны называется величина, равная энергии, которую в среднем переносит волна за единицу времени через единицу площади поверхности, перпендикулярной к направлению распространения волн.

Вопросы:

1) Какая волна называется плоской? гармонической?

2) Дайте определение волнового вектора.

3) Какое уравнение называется волновым?

4) Что такое поток энергии?

5) Дайте определение вектора плотности потока.

6) Какая физическая величина называется интенсивностью волны?

Пример 44.1. Плоская волна вида

(44.7)

( – в микрометрах, время – в секундах, – в метрах) распространяется в воде, причем источник волны находится в плоскости .

Найти:

а) объемную плотность энергии в точке, расположенной на расстоянии от источника, по истечении времени после начала колебаний;

б) среднюю объемную плотность энергии.

Решение.

а) Объемная плотность энергии волны определяется по формуле (44.4) с учетом :

(44.8)

Известно, что

, (44.9)

, (44.10)

Сравнив данное уравнение (44.7) с уравнением плоской волны, определяем параметры . Подставив выражения (44.9) и (44.10) в формулу (44.8), получаем

Численное значение объмной плотности

б) средняя плотность энергии волны определяется по формуле (44.5):

.

Подставив числовые данные из (44.7), получим:

Ответы: а)

б)