§ 34. Затухающие колебания

Во всех реальных случаях помимо квазиупругой силы на тело действует сила сопротивления, которая обычно считается пропорциональной скорости:

где – коэффициент сопротивления.

Уравнение второго закона Ньютона при наличии силы сопротивления имеет вид

или

(34.1)

где означает первую производную смещения по времени; – частота собственных колебаний, – коэффициент затухания. Уравнение (34.1) является дифференциальным. Его решение при не слишком сильном затухании имеет вид

(34.2)

где

Из выражения (34.2) видно, что амплитуда колебаний не является постоянной величиной, а уменьшается со временем по экспоненциальному закону:

(34.3)

где – начальная амплитуда колебаний.

Рис. 34.1.

Следовательно, колебания при наличии силы сопротивления не являются гармоническими. Такие колебания называются затухающими. Постоянная величина называется круговой частотой затухающих колебаний. Величина является круговой частотой колебаний в отсутствие сопротивления среды ( ) и называется собственной частотой колебаний. За счет работы силы сопротивления механическая энергия в процессе колебаний непрерывно уменьшается, переходя во внутреннюю энергию. Соответственно амплитуда колебаний уменьшается, и колебания постепенно затухают (рис. 34.1). Однако смещение принимает нулевые значения через равные промежутки времени