§ 29. Гармонические колебания

Простейшим частным случаем периодических колебаний являются гармонические, т.е. такие, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам: 1) колебания в природе и технике часто имеют характер, близкий к гармоническому; 2) периодические колебания иной формы (с иной зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

Примером таких колебаний могут служить колебания проекции радиус–вектора, вращающегося с постоянной угловой скоростью (рис. 29.1). При этом координата конца радиус–вектора изменяется по закону

(29.1)

где – постоянные величины. Координату в данный момент времени называют смещением.

Рис. 29.1

Максимальное значение колеблющейся величины называется амплитудой. Выражение называется фазой колебания и определяет значение величины в данный момент времени. Величина определяет значение фазы в момент времени и называется начальной фазой. Смысл фазы в том, что она указывает состояние колебательного процесса: зная фазу , можно из уравнения узнать относительное значение колеблющейся величины, а также характер ее изменения. Например, если фаза то это означает, что , и в данный момент величина убывает (следует из того, что при указанном значении аргумента функция ведет себя именно так). Значения колеблющейся величины и скорости ее изменения вполне определяют состояние колебательного процесса.

§ 30. Скорость и ускорение при гармонических колебаниях

Последовательно продифференцировав формулу (29.1) по времени, получим выражения для скорости и ускорения материальной точки при гармоническом колебательном движении вдоль оси :

(30.1)

(30.2)

где и .

Из формулы (30.1) видно, что скорость частицы также изменяется по гармоническому закону, причем амплитуда скорости равна . Сравнивая это выражение с (29.1), определяем, что скорость опережает координату в данный момент времени по фазе на (рис. 30.1).

Выражение (30.2) также позволяет сделать вывод, что ускорение изменяется по гармоническому закону с амплитудой . Отсюда же следует, что ускорение и смещение находятся в противофазе. Это означает, что когда смещение достигает наибольшего положительного значения, ускорение достигает наибольшего по величине отрицательного значения и наоборот (рис. 30.1).

Рис. 30.1

Из сказанного выше следует, что если материальная точка совершает гармонические колебания, то справедливо уравнение

(30.3)

Методами высшей математики можно показать, что эта связь ускорения и смещения является необходимым и достаточным условием того, чтобы тело совершало гармонические колебания около положения равновесия. Следовательно, если при анализе поставленной задачи будет найдено, что , где – положительная константа, то тело будет совершать гармонические колебания около положения равновесия с циклической частотой

По второму закону Ньютона

где – проекция результирующей всех сил, действующих на тело, на ось , вдоль которой совершаются колебания. С учетом (30.3) получим

(30.4)

Из (30.4) следует, что равнодействующая всех сил, действующих на тело, совершающее гармонические колебания, прямо пропорциональна смещению и направлена в сторону, противоположную смещению. Силы, пропорциональные смещению и направленные в сторону, противоположную смещению, т.е. удовлетворяющия условию , но имеющие иную природу, чем упругие силы, называются квазиупругими. Гармонические колебания совершаются под действием упругих и квазиупругих сил.

Пример 30.1 Найти амплитуду гармонических колебаний частицы, если на расстояниях и от положения равновесия ее скорости равны соответственно и .

Решение. Согласно условию задачи координата частицы и ее скорость изменяются со временем по закону

(30.5)

(30.6)

Перепишем уравнения (30.5) и (30.6) в виде

(30.7)

(30.8)

Возведем выражения (30.7) и (30.8) в квадрат и сложим

(30.9)

Запишем выражение (30.9) для и , и :

(30.10)

Решим систему уравнений (30.10) относительно искомой амплитуды колебаний частицы.

Ответ:

Пример 30.2. Частица массой совершает гармонические колебания вдоль оси с частотой Гц. Амплитуда колебаний см. Определить максимальную силу , действующую на частицу.

Решение. Частица совершает гармонические колебания по закону

Согласно основному уравнению динамики, проекция на ось силы, действующей на частицу,

Проекции скорости и ускорения частицы на ось

(30.11)

С учетом выражения (30.11) получаем

откуда максимальное значение модуля силы (при )

Ответ: