- •Методическое пособие по физике для студентов заочного факультета
- •Часть 2.
- •Содержание
- •§ 28. Общие сведения о колебательном движении
- •§ 29. Гармонические колебания
- •§ 30. Скорость и ускорение при гармонических колебаниях
- •§ 31. Гармонические колебания груза на пружине
- •§ 32. Превращения энергии при гармонических колебаниях
- •§ 33. Физический и математический маятники
- •§ 34. Затухающие колебания
- •§ 35. Вынужденные колебания
- •§ 36. Сложение однонаправленных колебаний
- •§ 37. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •§ 38. Распространение колебаний в упругой среде
- •§ 39. Длина волны. Связь длины волны со скоростью ее распространения
- •§ 40. Звук
- •§ 41. Уравнение плоской волны
- •§ 42. Фазовая скорость
- •§ 43. Волновое уравнение
- •§ 44. Энергия упругой волны
- •Контрольные задания Вариант № 0
- •Вариант № 1
- •Вариант № 2
- •Вариант № 3
- •Вариант № 4
- •Вариант № 5
- •Вариант № 6
- •Вариант № 7
- •Вариант № 8
- •Вариант № 9
§ 36. Сложение однонаправленных колебаний
Сложением колебаний называется нахождение закона результирующих колебаний системы, участвующей одновременно в нескольких колебательных движениях.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты. Пусть уравнения складываемых колебаний имеют вид:
Для нахождения закона результирующего колебания воспользуемся методом векторных диаграмм, который заключается в том, что гармоническое колебание можно изобразить графически с помощью вращающегося вектора (рис. 36.1). Из точки , взятой на оси , отложим вектор длины , образующий с осью угол . Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью , то проекция конца этого вектора будет перемещаться по оси в пределах от + до – , причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону
(36.1)
Следовательно, проекция конца вектора на ось совершает гармоническое колебание. Т.о., гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебаний, а направление вектора образует с осью угол, равный начальной фазе колебания.
Представим оба рассматриваемых колебания с помощью векторов и . По правилам сложения векторов найдем результирующий вектор .
Рис. 36.1
Из рисунка видно, что . Если равномерно вращать систему векторов и находить их проекции на ось, то эти проекции будут совершать гармонические колебания в соответствии с заданными уравнениями. Взаимное расположение векторов и остается неизменным, поэтому колебательное движение проекции результирующего вектора также будет гармоническим. Из сказанного следует, что суммарное движение является гармоническим колебанием с заданной частотой .
По теореме косинусов
или
(36.2)
Начальную фазу результирующего колебания определим по тангенсу угла с помощью рисунка (36.1):
(36.3)
Соотношения (36.2) и (36.3) дают возможность найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания и составить его уравнение (36.1). Для определения результирующего колебания можно также использовать аналитическое сложение, т.е. произвести соответствующие тригонометрические преобразования.
Проанализируем выражение (36.2):
а) Если разность фаз равна четному числу , т.е.
то колебания совпадают по фазе и усиливают друг друга. При этом
или
б) Если разность фаз равна нечетному числу , т.е.
то колебания ослабляют друг друга и результирующая амплитуда равна разности амплитуд складываемых колебаний
или
в) Если , а амплитуды равны , то суммарная амплитуда , т.е. колебания взаимно гасят друг друга.
Заметим, что если частоты колебаний и неодинаковы, то векторы и будут вращаться с различной скоростью. При этом результирующий вектор пульсирует по величине и вращается с переменной скоростью. Следовательно, результирующим движением будет в этом случае не гармоническое колебание, а некоторый сложный колебательный процесс.