§ 35. Вынужденные колебания

Для поддержания колебаний в системе необходимо, чтобы действовала сила, работа которой компенсировала бы уменьшение механической энергии. Эта сила должна быть переменной, т.к. постоянная сила может только изменить положение равновесия, но не может способствовать поддержанию колебаний в системе.

Колебания, возникающие в системе под действием внешней переменной силы, называются вынужденными. Переменная сила, поддерживающая в системе незатухающие колебания, называется вынуждающей.

Рассмотрим простейший частный случай вынужденных колебаний в среде, заключающийся в том, что на систему действует сила, которая изменяется со временем по гармоническому закону:

(35.1)

где – амплитуда силы, – круговая частота изменения силы со временем.

Помимо вынуждающей силы на тело действуют квазиупругая сила и сила сопротивления. Тогда колебания будут описываться дифференциальным уравнением:

или

(35.2)

где

С течением времени собственные колебания в системе затухнут, следовательно, вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы.

Решение уравнения для установившихся вынужденных колебаний имеет вид:

(35.3)

где – амплитуда вынужденных колебаний, – сдвиг фаз; он представляет собой величину отставания по фазе вынужденного колебания от обусловившей его вынуждающей силы:

(35.4)

(35.5)

Из соотношений (35.4) и (35.5) следует, что амплитуда и фаза зависят от соотношения между частотой собственных колебаний и частотой вынуждающей силы . При совпадении этих частот амплитуда колебаний будет резко возрастать (рис.35.1)

Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты вынуждающей силы с частотой собственных колебаний системы, называется резонансом.

Рис.35.1

Резонансная амплитуда зависит от сопротивления среды, как видно из формулы (35.4). Кривой соответствует меньшее сопротивление среды, чем кривой . При , как видно из (35.5), и, соответственно, решение уравнения колебаний приобретает вид

Тогда скорость изменяется по закону

откуда видно, что скорость изменяется в фазе с вынуждающей силой.

Возрастание амплитуды при резонансе объясняется тем, что при направление вынуждающей силы все время совпадает с направлением перемещения, и, следовательно, вынуждающая сила будет непрерывно совершать положительную работу. Т.о., механическая энергия системы, а, соответственно, и амплитуда будут возрастать. При отсутствии сопротивления среды амплитуда стремится к бесконечно большим значениям. При вынуждающая сила на одних перемещениях совершает положительную работу, а на других – отрицательную, и потому амплитуда вынужденных колебаний невелика.