I. Входной поток(w):

Потоком событий называется последовательность событий, которые происходят одно за другим в случайные моменты времени. Потоки можно разделить на:

а) потоки однородных событий. В этом случае все заявки, поступающие в систему, абсолютно одинаковы с точки зрения обслуживания. Для характеристики этого потока можно задать t^пр - момент прихода заявки в систему;

б) поток неоднородных событий. В этом случае все заявки неодинаковы, такой поток характеризуется последовательностью { t^пр, f^пр}, где t^пр - момент прихода заявки в систему, f^пр - набор признаков, характеризующий заявку с точки зрения обслуживания (приоритет и т.д.).

1. Простейший поток (стационарный пуассоновский):

Такой поток должен обладать следующими 3-мя свойствами:

а) стационарность;

б) отсутствие последействия;

в) ординарность.

Стационарность.

Если вероятность попадания того или иного числа событий на интервал времени Dt зависит только от длины этого интервала и не зависит, где этот интервал находится на оси времени, то такой поток называется стационарным.

Интенсивность потока l не является функцией времени (l = const).

Отсутствие последействия.

Если для любых неперекрывающихся участков времени число событий, попадающих на один из них не зависит от числа событий, попадающих на другие, то такой поток называется потоком с отсутствием последействия. Этот поток не имеет памяти.

Ординарность.

Если вероятность попадания 2-х и более событий на элементарный интервал времени Dt пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления одного события, то такой поток называется ординарным.

P₁ >> P_n, где n = 2, 3, ...

Для простейшего потока характерно:

a^k

P(k, a) = e^-a (16.1)

k!

f(t) = le^-lt (16.2)

l - интенсивность потока

l = 1/ t (16.3)

2. Нестационарный пуассоновский поток:

Основная характеристика l(t) - мгновенная плотность потока

m(t + Dt) - m(t)

l(t) = lim (16.4)

Dt®0 Dt

где m(t) - среднее число событий, которое происходит на элементарном участке времени Dt,

l(t) ¹ const.

Для такого потока:

a_m

P_m(t, t₀) = e^-a (16.5)

m!

t₀ + t

a = ò l(t)dt (16.6)

t₀

3. Поток Пальма:

Если промежутки времени между последовательными событиями t₁, t_2, ... являются независимыми СВ, то такой поток называется потоком Пальма. Частным случаем этого потока является простейший поток, для которого все интервалы - это независимые СВ, имеющие экспоненциальный закон распределения. Нестационарный поток не является потоком Пальма.

4. Поток Эрланга:

Этот поток получается из простейшего путем рассеивания последнего.

Поток Эрланга k-го порядка получается из простейшего, если сохранить каждую (k + 1) точку простейшего и выбросить все остальные.

l(lt)^k

f_k(t) = e^-lt (16.7)

k!

II. Поток обслуживания (U):

f(t^обсл) = me^-mtобсл (16.8)

m - интенсивность обслуживания

III. Состояние элементов во времени(Z):

Процесс функционирования П_i можно представить как процесс изменения его состояния во времени. Переход в новое состояние означает изменение количества заявок, которое в нем находится.

Z_i = { Z_i^н , Z_i^к } (16.9)

Z_i^н - состояние накопителя,

Z_i^к - состояние канала.

Если Z_i^н = 0, значит очереди нет, если Z_i^к = 0, значит канал свободен, если Z_i^к = =1, значит канал занят.

IV. Схема сопряжения ( R ):

Могут быть различные композиции элементарных приборов. Если элементарные приборы соединены параллельно, то речь идет о многоканальной СМО.

H_i K_i1

K_i2

K _in

H_1i

K_1i

H_2i

l K_2i

H_ni

K _ni

Если элементарные приборы соединены последовательно, то речь идет о многофазной системе. Если соединить последовательно эти 2 прибора, то получим многофазную единую систему.

V. Собственные параметры ( H):

Под собственными параметрами понимается:

1) количество фаз;

2) количество каналов в каждой фазе;

3) количество накопителей;

4) емкость каждого накопителя.

В зависимости от емкости накопителя СМО могут быть:

1) с потерями, когда накопителя нет;

2) с ожиданием ( имеет бесконечную очередь );

3) системы смешанного типа ( очередь ограничена ).

VI. Алгоритм функционирования (А), который определяет правила поведения заявок в системе в различных ситуациях:

В зависимости от места возникновения ситуации существуют различные правила ожидания заявок в системе и правила обслуживания заявок в канале.

Правила ожидания:

1) первый пришел, первый обслужился (FIFO);

2) по минимальному времени ожидания;

3) в соответствии с различными приоритетами.

Приоритеты могут быть:

1) статические. Приоритеты присваиваются заранее и не зависят от состояния заявки в системе;

2) динамические. Приоритеты присваиваются в процессе моделирования и могут меняться в зависимости от ситуаций.

3) относительные. С таким приоритетом заявка ждет окончания обслуживания предыдущей заявки.

4) абсолютные. В этом случае заявка не ждет окончания обслуживания предыдущей заявки, а прерывает ее.

Правила выбора канала:

1) заявка попадает в первый освободившийся канал;

2) по жребию ( случайным образом ).

В системе должен быть предусмотрен отказ.

Т.о. СМО (Q-схему) можно представить в виде следующей шестерки:

Q = {w, U, Z, R, H, A} (17.1)

где w - входной поток,

U - поток обслуживания,

Z - состояния системы,

R - схема сопряжения,

H - собственные ( внутренние ) параметры,

A - алгоритм поведения заявки в системе.

Описание Q -схем с использованием марковских

случайных процессов (СП).

Процесс, протекающий в физической среде, называется марковским или процессом без последействия, если для каждого момента времени вероятность любого состояния в будущем зависит только от состояния системы в настоящем и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние. Для этого процесса характерно, что на вход поступает простейший поток и обслуживание в такой системе имеет экспоненциальный закон распределения.

Пример:

Пусть в момент времени t₀ некоторая точка находится в состоянии x₀ ( имеет координату x₀).

Подбрасываем монету:

- если выпал орел, то точку передвигаем вправо на 1 единицу;

- если выпала решка, то точку передвигаем влево на 1 единицу.

Строится граф состояний:

x_-2 x_-1 x₀ x₁ x₂

Пример: пусть необходимо описать 2-х канальную СМО с отказами.

1. Состояния, в которых может находиться СМО:

x₀ - когда все каналы свободны,

x₁ - первый канал занят, второй - свободен,

x₂ - второй канал занят, первый - свободен,

x₃ - оба канала заняты.

2. Нарисуем граф состояний:

x₀ x₁

x₂ x₃

3. Матрица переходов:

P₀₀ P₀₁ P₀₂ P₀₃ 0 0,5 0,5 0

P = P₁₀ P₁₁ P₁₂ P₁₃ = 0,5 0 0 0,5

P₂₀ P₂₁ P₂₂ P₂₃ 0,5 0 0 0,5

P₃₀ P₃₁ P₃₂ P₃₃ 0 0,5 0,5 0