Уравнение Эрланга и формула Эрланга.

Рассмотрим на примере n-канальные СМО с отказами.

1. x₀ - все каналы свободны,

x₁ - первый канал занят,

x₂ - первый и второй каналы заняты,

.

.

x_n - все каналы заняты

2.

l l l l

x ₁ x₂ x₃ x_n

m 2m 3m n m

3. Входной поток простейший с интенсивностью l и интервалы между поступлениями заявок в систему распределены по:

f(t) = le^-lt

4. Обслуживание показательное:

f(t^обсл) = me^-mtобсл

_n

5. å P_k(t) = 1

^k=1

6. В начальный момент времени t₀ система находится в состоянии x₀.Необходимо определить основные показатели эффективности системы:

- вероятность того, что заняты ровно k -каналов;

- среднее число занятых каналов;

- вероятность обслуживания заявки;

- среднее время занятости и т.д.

Правила составления ду.

Для определения вероятности нахождения в состоянии k считаем, что положительный знак имеют слагаемые, которые определяются как произведение интенсивности потоков, входящих в k-ое состояние, на вероятность состояний, из которых выходит этот поток, и отрицательный знак -

произведение интенсивностей потоков, выходящих из рассматриваемого k- го состояния.

dP₀(t)

= -lP₀(t) + mP₁(t)

dt

dP₁(t)

= -(l + m)P₁(t) + lP₀(t) + 2 mP₂(t) (18.1)

dt

.

.

.

dP_n(t)

= - nmP_n(t) -lP_n-1(t)

dt

_n

å P_k(t) = 1

^k=0

(18.1) называется уравнением Эрланга.

При t®¥ мы переходим к стационарному режиму работы системы, при котором вероятности не являются функциями времени, и в этом случае

dP_k(t)

lim ® 0 , P_k(t) = const

^t®¥ dt

систему (18.1) мы можем представить в виде алгебраических уравнений:

-lP₀ + mP₁ = 0

-(l + m)P₁+ lP₀ + mP₂ = 0 (18.2)

.

.

- nmP_n -lP_n-1 = 0

Решая (18.2), получаем следующие показатели:

1) вероятность того, что занято ровно k каналов

P(k,a) a^ke^-a/k!

P_k = = _n (18.3)

R(n,a) å(a^ke^-a/k! )

k=0

a = l/m

2) среднее число занятых каналов - `k:

R (n-1, a)

` k = a (18.4)

R (n, a)

Математический аппарат марковских СП возможно использовать только в следующих случаях:

1) входной поток простейший ( обладает свойствами стационарности, отсутствием последействия, ординарности ). Входной поток имеет экспоненциальный закон распределения с интенсивностью l;

2) обслуживание только экспоненциальное;

3) (18.3), (18.4) и т.д. оценивают только стационарный режим функционирования системы. Переходные процессы оценить невозможно.

Моделирование смо с помощью метода статистических испытаний.

Моделируются одноканальные СМО с отказами.

I. Постановка задачи: Q = { w, U, Z, R, H, A }

1) входной поток - поток однородных событий с заданным законом распределения;

2) время обслуживания - СВ, не зависящая от предыстории, с законом распределения f(t^обсл);

3) система обслуживания с отказами, очередь есть

Z^н = 0, Z^k = 0

1

4) однофазная, одноканальная система обслуживания;

5) в фазе один канал и нет накопителя;

6) заявки на обслуживание поступают в порядке поступления ( принцип FIFO ) Каждая заявка имеет допустимое время ожидания t^*, которое является СВ и имеет соответственный закон распределения. (t^* - собственная характеристика заявки ). Если собственное время ожидания меньше, чем время ожидания в очереди, то заявка получает отказ.

Задан интервал моделирования T, после Т обслуживание прекращается.

II. Формирование показателей эффективности:

P ^обсл - вероятность обслуживания,

Р^отк - вероятность отказа,

`t^ожид - среднее время ожидания,

`t^преб - среднее время пребывания заявки в системе.

III. Декомпозиция показателей эффективности:

Цель процесса декомпозиции состоит в том, чтобы определить структуру констант и переменных, которые будут входить в имитационную модель, а также определить структуру математических соотношений математической модели.

Здесь же строится временная диаграмма функционирования системы.

N* N

`t^преб = å å t_ij ^преб × 1/N × 1/N*

j=1 i=1

t_i^преб = t_i^ож + t_i^обсл , t_i^обсл - СВ с заданным законом распределения

t_i^ож = t_i-1^{ок.обсл} - t_i

t₁ t₂ t₃

t₁^обсл t₂^обсл

t₂^ож t₃^ож

отказ

t_i = t_i-1 + t_i , t_i - СВ с заданным законом распределения

t_i-1^{ок.обсл} = t_i-1^н.обсл + t_i-1^обсл

t _i-1^н.обсл = t_i-1 , если канал свободен и очереди нет

t_i-2^{ок.обсл}, в противном случае ( если канал занят )

`Р^отк = m/N1, где m - количество всех отказанных заявок для всех N*

реализаций,

N1 - количество заявок, пришедших в систему, для всех N* реализаций.

m = m +1, если t_i-1^{ок.обсл} > t_i + t_i*^ож

`P <sup>обсл</sup> = 1 - `Р^отк

IV. Концептуальная модель ( первый уровень детализации алгоритма относительно концептуальной модели ):

начало

1

исход. данные для

моделир-я

2

исход. данные для 10

реализации

3 6

формирование

формирование вход.потока t_i^н.обс = t_i

t_i^*ож t_i 7

4

t_i < T формирование

t_i^ок.ож = t_{i +} t_i^*ож t^обс

да 8

5 нет

t_i < t_i-1^ок.обс t_i^ок.обс = t_i^н.обс + t^обс

нет

t_i^ок.ож < t_i-1^ок.обс

9 счетчик

да обслуживания

заявок

с четчик t_i^н.обс = t_i-1^ок.обс

отказов 10

t^преб

обработка

результатов и

10 вывод 3

конец