Процесс функционирования агрегата.

Пусть задано t₀ - момент начала функционирования агрегата, z(t₀) - начальное состояние агрегата и g₀ - некоторое управление. Пусть в момент времени t₁ поступает входной сигнал x₁, в момент времени t₂ - входной сигнал x_2, в момент времени t₁ поступает управляющее воздействие g₁ и t₁ < t₁ < t₂.

I. Рассмотрим интервал [t₀, t₁], t₀ < t £ t₁ . Начальное состояние агрегата считается особым. Тогда Z(t) = U_t0[z(t₀), g₀, t]. Оператор G’’ каждое текущее z(t) проверяет на принадлежность множеству Z^(y).

Пусть в момент времени t’ < t₁ оператор G’’ обнаруживает, что z(t’) Î Z^(y), а оператор G’ выдает конкретный выходной сигнал y’. Затем определяем

Z(t’ +0) = W[z(t’), g₀]. Проверяем принадлежность Z(t’ +0) множеству Z^(y). Если - да, то Z(t’ +0 + 0) = W[z(t’ + 0), g₀] = W{W[z(t’), g₀], g₀}. И т.д., пока мы не обнаружим, что текущее состояние принадлежит множеству выходных состояний. Если - нет, то Z(t) = U_t’[z(t’ + 0), g₀, t] = U_t’{W[z(t’), g₀], g₀, t}. Таким образом состояние агрегата будет изменяться на всем интервале t Î [t’, t₁].

II. Пусть в момент времени t₁ приходит сигнал x₁. Проверяем, принадлежит ли z(t₁) множеству Z^(y). Если - да, то Z(t₁ +0) = W[z(t₁), g₀]. Проверяем, принадлежит ли Z(t₁ +0) множеству Z^(y), если нет , то агрегат готов к приему входного сигнала x₁.

Z(t’ +0 + 0) = V’[z(t₁ + 0), x_1, g₀] = V’{W[z(t₁), g₀], x₁, g₀}.

Если - нет, то Z(t’ +0 ) = V’[z(t₁), x_1, g₀]

Z(t) = U_t1[z(t₁ + 0), g₀, t]

III. Пусть в момент времени t₁ поступает управление g₁. Проверяем, принадлежит ли Z(t₁) множеству Z^(y). Если - да, то Z(t₁ +0) = W[z(t₁), g₀], если - нет, то Z(t₁ +0) = V’’[z(t₁), g₁],

Z(t) = U_t1[z(t₁ + 0), g₁].

Проверяем, принадлежит ли Z(t₁ +0) множеству Z^(y), если нет, то агрегат готов к приему нового управления

Z(t₁ +0 +0) = V’’[z(t₁ + 0), g₀] = V’’ {W[z(t₁), g₀], g₁}.

При приходе нового управления в агрегат старое управляющее воздействие исключается.

Представление смо в виде агрегата.

I. Постановка задачи:

Рассматривается одноканальная СМО с ограничением на время ожидания для заявки. Входной поток определяется моментом поступления заявок t_j, где t_j задается через интервалы между поступлениями заявок и является СВ с заданным законом распределения. Кроме этого есть a_j - это параметр каждой заявки, a_j - СВ с условным законом распределения f ( a / t ).

Если канал занят, то заявка становится в очередь и ждет не больше, чем t_j^ож. И в общем случае это ожидание зависит от входной характеристики a_j и управления g_s:

t_j^ож = j (a_j, g_s )

t_j^ож - это СВ с заданным законом распределения;

g_s - это СВ, имеющая условный закон распределения f ( y_s, t ).

Задается t_j^обсл = y (a_j, g_s), где t_j^обсл - это СВ с заданным законом распределения.

II. Определяем состояния, которые будут характеризовать СМО.

Z(t) = { z₁(t), z₂(t), ... , z_R(t)}

z₁(t) - время, оставшееся до конца обслуживания заявки;

z₂(t) - значение нового управления g_k;

z₃(t) - количество заявок в очереди;

z₄(t) - оставшееся время ожидания для первой заявки в очереди;

z₅(t) - оставшееся время ожидания для второй заявки в очереди;

.

.

.

z_R(t) - оставшееся время ожидания для (R -3) заявки в очереди

III. Определяем множество выходных состояний, существующих в этой системе.

1 . z₁^(y) - состояние, когда одна заявка полностью обслужена в канале, а все остальные находятся в очереди в накопителе и имеют возможность ожидать дальше.

Это состояние происходит в момент времени t₁:

z₁(t₁) = 0

z₁(t₁) > 0 для i = 2,R

G’’ z(t₁) Î z₁^(y)

G

G’ y₁ = [a_k, g_s, t₁]

W t₁ + 0

z₁(t₁ + 0) = t^обсл

z₂(t₁ + 0) = z₂(t₁)

z₃(t₁ + 0) = z₃(t₁) - 1

z₄(t₁ + 0) = z₄(t₁)

.

.

.

z_R-1(t₁ + 0) = z_R-1(t₁)

z_R(t₁ + 0) - неопределено.

Дальше t > t₁. Должен работать оператор U_t1:

z₁(t) = z₁(t₁ + 0) - (t - t₁)

z₂(t) = z₂(t₁ + 0) = const

z₃(t) = z₃(t₁ + 0) = const

z₄(t) = z₄(t₁ + 0) - (t - t₁)

.

.

.

z_R-1(t) = z_R-1(t₁ + 0) - (t - t₁)

2. z₂^(y) - состояние, когда у какой-то заявки из очереди окончилось допустимое время ожидания и заявка уходит из очереди необслуженная.

Это состояние происходит в момент времени t₂.

z₁(t₂) > 0

z₂(t₂) > 0

z₃(t₂) > 0

.

.

.

z_m(t₂) > 0

Все остальные z₄(t₂), ... , z_m-1 (t₂)

G’’ z(t₂)Î z₂^(y)

G

G’ y₂ = [a_k, g_s, t₂]

W t₂ + 0

z₁(t₂ + 0) = z₁(t₂)

z₂(t₂ + 0) = z₂(t₂)

z₃(t₂ + 0) = z₃(t₂) - 1

z₄(t₂ + 0) = z₄(t₂)

.

.

.

z_R-2(t₂ + 0) = z_R-2(t₂)

z_R-1(t₂ + 0) - неопределено.

U_t2:

z₁(t) = z₁(t₂ + 0) - (t - t₂)

z₂(t) = z₂(t₂ + 0) = const

z₃(t) = z₃(t₂ + 0) = const

z₄(t) = z₄(t₂ + 0) - (t - t₂)

.

.

.

z_R-2(t) = z_R-2(t₂ + 0) - (t - t₂)

3. z₃^(y) - состояние, когда заявка обслужена и уходит из системы и в очереди нет ни одной заявки.

Это состояние происходит в момент времени t₃:

G’’ z₁(t₃) = 0 Î z₃^(y)

z₃(t₃) = 0

G

G’ y₃ = [a_k, g_s, t₃]

W t₃ + 0

z₁(t₃ + 0) = 0

z₂(t₃ + 0) = z₂(t₃)

z₃(t₃ + 0) = 0

Все остальные z_i , i = 4, R-2 будут неопределены.

U_t3:

z₁(t) = 0

z₂(t) = z₂(t₃ + 0) = const

z₃(t) = 0

Все остальные z_i , i = 4, R-2 будут неопределены.

Регрессионный анализ.

Корреляционный анализ.

Регрессионный анализ.

Одномерная линейная регрессия:

В этом случае функциональная зависимость ищется в виде прямой зависимости, имеющей одну переменную.

Одномерная нелинейная регрессия:

В этом случае зависимость может быть любая, кроме линейной, но зависимая переменная одна.

Многомерная регрессия:

Здесь рассматриваются несколько переменных.

Математический метод, который обеспечивает такую подгонку кривой, при которой экспериментальные точки ложатся на нее наилучшим образом в смысле критерия наименьших квадратов, называется регрессионным анализом.

В схеме регрессионного анализа предполагается, что независимая переменная x является неслучайной функцией, значения которой задаются заранее перед началом наблюдений за системой. Зависимая переменная y -это СВ.

Обычно к этому приводят 2 предположения:

1) x измеряется без ошибок ( или ими можно пренебречь ), а при измерении y имеются случайные ошибки;

2) y зависит не только от x, но и от ряда неконтролируемых факторов. В этом случае нас интересует лишь среднее значение y при заданном x, т.е. функциональная зависимость y от x:

M [ y / x ] = f [ x, a₀, a₁, ...] (25.1)

Алгоритм реализации регрессионного анализа:

1. Сбор данных и представление этих данных в виде прямоугольной таблицы значений;

x x₁ x₂ ... x_N

y y₁ y₂ ... y_N табл. 25.1

2. Данные из табл. 25.1 представляются в виде поля разброса в системе координат ( x, y )

y

y_N y = a₀ + a₁x

.

y₂ .

y_{1 .}

x₁ x₂ x_N x

3. По виду поля разброса ( этап 2 ) подбирается вид функциональной зависимости ( кривая ) .

Этот этап субъективен.

а) линейная зависимость:

y

y = a₀ + a₁x

a₁ > 0 a₁ < 0

x

б) квадратичная зависимость:

y = a₀ + a₁x + a₂x²

a₂ > 0 a₂ < 0

в) кубическая зависимость:

y = a₀ + a₁x + a₂x² + а₃x³

а₃ > 0 a₃ < 0

г) парабола n-ой степени:

y = a₀ + a₁x + a₂x² + а₃x³ + ... + a_nxⁿ

д) логарифмическая кривая:

y = a₀ + a₁ lg x

a₁ > 0

a₁ < 0

е) показательная зависимость:

y = a₀e^a1x

a₁ > 0

a₁ < 0

ж) кубическая логарифмическая кривая:

lg y = a₀ + a₁ lg x

з) зависимость между затратами ресурсов и результатами производственной деятельности может быть представлена в следующем виде:

y = a₀x₁^a1x₂^a2, где

x₁, x₂ -затраты по определенным компонентам;

y - результат производственной деятельности;

а₀, а₁, а₂ - const

и) линейная производственная функция:

y = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + ... , где

x₁и x₂ соответствующие затраты ресурсов;

a_i - норма расхода соответствующих ресурсов, либо среднее значение величины расхода того или иного ресурса.

При подборе кривых помогает анализ вычисления разностей различных порядков y и x.

1) если отношение (Dy / Dx) » const , то y = a₀ + a₁x;

2) если отношение (D lg y / Dx) » const, то в качестве функциональной зависимости выберем y = a₀x^a1;

3) если отношение (D lg y / D lg x) » const, то y = a₀a₁^x;

4) если отношение (D (x/y) / Dy) » const, то y = x / (a₀ + a₁x);

5) если отношение (D² y / D² x) » const, то y = a₀ + a₁x²

Мы можем осуществить выбор кривой по скорости изменения первой производной и по ускорению. Могут быть еще сезонные или периодические составляющие ряда, они аппроксимируются гармоническими функциями.

4. На этом этапе определяются коэффициенты функциональной зависимости ( параметры ). Этот этап реализуется с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Суть МНК:

МНК - это соотношение (26.2):

S = d₁² + d₂² + ... + d_n² (26.2)

d_i = [ y_i’ - ( a₀ + a₁x_i )]²

n

S = å [ y_i’ - ( a₀ + a₁x_i )]² ® min

i=1

n

dS/da₀ = 2 å [ y_i’ - ( a₀ + a₁x_i )] [-1] = 0

i=1

n (26.3)

dS/da₁ = 2 å [ y_i’ - ( a₀ + a₁x_i )] [-x_i] = 0

i=1

Решая (26.3) относительно а₀и а₁, получим:

å y_i’ å x_i² - å x_i å y_i’ x_i

a ₀ = (26.4)

n å x_i² - ( å x_i)²

å x_i y_i’ - å x_i å y_i’

a ₁ = (26.5)

n å x_i² - ( å x_i)²

5. Оценка прогноза ( функциональной зависимости ). Здесь может быть использован критерий Фишера или остаточная дисперсия.