Основные теоремы о пределах функции

_{тогда и только тогда, когда , где - бесконечно малая функция при .}

1. _{Если функции и определены в некоторой окрестности точки а, и существуют пределы , то существуют пределы их суммы , произведения и, если , , то и частного и имеют место равенства.}

_{а) -}

_б)

_{в) при и}

Следствия.

1. _{Постоянный множитель может быть вынесен из под знака предела}

2. _{Предел разности равен разности пределов}

3. Предел степени равен степени предела

4. Если , и в некоторой окрестности точки имеют место неравенства , то

Вычисление пределов

1. Для вычисления предела многочлена при достаточно вместо переменной подставить значение , к которому она стремится, и выполнить соответствующие действия, т.е.

2. При вычислении предела отношения , т. е. ,

где – число

а) Если , то можно применить свойство о пределе частного

б) Если , то теорему частного применить нельзя. Тогда если , то если же – имеем неопределенность вида . В этом случае предел можно вычислять разложением многочленов и на множители или заменой .

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ

Производная функции, её геометрический и механический смысл

О₁ / Производной функции по аргументу называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда .

О₂ / Физический смысл производной

Скорость изменения функции при данном есть предел средней скорости ее для промежутка аргумента от до , когда

О₃ / Геометрический смысл производной

Производная функция при равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику данной функции в его точке с абсциссой .

Правила дифференцирования

1. , С - постоянная 5)

2. 6)

3. , С-постоянная 7)

4)

Формулы дифференцирования

№	Основные Элементарные функции	Сложные функции
1
2
3
4
5	,	,
6
7
8
9
10
11
12
13

Производная сложной функции

Пусть , где и является не независимой переменной, а функцией независимой переменной . Таким образом .

В этом случае функция называется сложной функцией от , а переменная - промежуточным аргументом.

Производная сложной функции находится на основании следующей теоремы: если и дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению производной функции по промежуточному аргументу и на производную промежуточного аргумента и по независимой переменной