Основные формулы интегрирования (табличные интегралы):

Из каждой формулы дифференцирования вытекает соответствующая ей формула интегрирования. Например, из того, что , следует равенство

Таблица основных интегралов:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 8

Основные свойства определенного интеграла

Все свойства сформулированы в предположении, что рассматриваемые функции интегрируемы в соответствующих промежутках.

1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

= 0.

2. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:

= –

3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

= + , где

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

5. Интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме интегралов от всех слагаемых:

Ньютона – Лейбница:

т.е. определенный интеграл равен разности значений любой первообразной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграла:

1. найти неопределенный интеграл от данной функции; F(x)

2. в полученную первообразную подставить вместо аргумента сначала верхний, затем нижний предел интеграла; F(в); F(а)

3. из результата подстановки верхнего предела вычесть результат подстановки нижнего предела: F(в) – F(а)

Понятие определенного интеграла широко применяется для вычисления различных геометрических и физических величин.

Рис. 1 Рис. 2

Площади плоских фигур. Площадь криволинейной трапеции aABb, ограниченной графиком непрерывной функции (где ), отрезком ab оси Ох и отрезками прямых х=а и х=b, вычисляется по формуле

Объём тела вращения

Объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции aABb, ограниченной непрерывной кривой (где ), отрезком ab оси Ох и отрезками прямых х=а и х= b , вычисляется по формуле

Путь, пройденный точкой.

Если точка движется прямолинейно и ее скорость есть известная функция времени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени , вычисляется по формуле

Работа силы.

Если переменная сила F=F(x) действует в направлении оси Ох, то работа силы на отрезке вычисляется по формуле

Сила давления жидкости

Сила давления р жидкости плотности на вертикальную пластинку, погруженную в жидкость, вычисляется по формуле:

(7)

где g = 9,81 м/с² – ускорение свободного падения, S – площадь пластинки, а глубина погружения пластинки изменяется от a до b.

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными.

Уравнение вида f(x)dx+φ(y)dy=0,где f(x) и φ(y)- данные функции, называется уравнением с разделенными переменными.

Это уравнение можно переписать в виде f(x)dx=-φ(y)dy и рассматривать как равенство двух дифференциалов. Решение таких уравнений выполняется непосредственным интегрированием

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Общий вид такого уравнения:

где Х(х), Х₁(х) – функции только от х, Y(у), Y₁(у) – функции только от у.

Поделив обе части уравнения на произведение Х₁(х) Y(у) , получим уравнение с разделенными переменными:

Общий интеграл этого уравнения имеет вид: