- •Общие требования
- •Методические указания
- •Основные теоремы о пределах функции
- •Следствия.
- •Вычисление пределов
- •Геометрический смысл производной
- •Физический смысл производной
- •Вторая производная
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Основные формулы интегрирования (табличные интегралы):
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Комплексные числа
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 30
- •ЭКзаменационные вопросы
- •Рекомендуемая литература
Геометрический смысл производной
Производная функции имеет простую и важную геометрическую интерпретацию.
Если функция дифференцируема в точке , то график этой функции имеет в соответствующей точке касательную, причем угловой коэффициент касательной равен значению производной в рассматриваемой точке.
Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке , равен значению производной функции при , т.е. .
Уравнение этой касательной имеет вид .
Физический смысл производной
Если тело движется по прямой по закону , то за промежуток времени (от момента до момента ) оно пройдет некоторый путь . Тогда есть средняя скорость движения за промежуток времени .
Скоростью движения тела в данный момент времени называется предел отношения приращения пути к приращению времени , когда приращение времени стремится к нулю:
.
Следовательно, производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения тела в данный момент времени: .
Скорость протекания физических, химических и других процессов также выражается с помощью производной.
Производная функция равна скорости изменения этой функции при данном значении аргумента :
Вторая производная
Производная функции в общем случае является функцией от . Если от этой функции вычислить производную, то получим производную второго порядка или вторую производную функции .
Второй производной функции называется производная от ее первой производной .
Вторая производная функции обозначается одним из символов . Таким образом, .
Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка. Например, производная третьего порядка:
или , .
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
Условие постоянства функции. Дифференцируемая функция постоянна на промежутке Х тогда и только тогда, когда внутри Х.
Условие возрастания функции. Дифференцируемая функция монотонно возрастает на промежутке Х тогда и только тогда, когда ее производная не отрицательна внутри этого промежутка: , причем производная обращается в нуль в конечном числе точек, лежащих внутри промежутка Х.
Это условие геометрически означает, что касательная к графику монотонно возрастающей функции образует с положительным направлением оси Ох острый угол или параллельна ей.
Условие убывания функции. Дифференцируемая функция монотонно убывает на промежутке Х тогда и только тогда, когда ее производная не положительна внутри этого промежутка: , причем производная обращается в нуль в конечном числе точек, лежащих внутри Х.
Свойства неопределенного интеграла
Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной, т.е.
Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
.
Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции: