33.Внутренняя и внешняя задача Неймана для круга. Необходимое условие существования. Теорема Гаусса
-
задача
Неймана для круга. Если
-
внутренняя задача. Если
-
внешняя задача. Ф-ция
.
Эта ф-ция будет гармонической внутри
круга любого радиуса. Надо подобрать
т.о., чтобы при
производная по нормали от нашего ряда
совпадала с разложением ф-ции
в ряд по косинусам и синусам кратных
углов.
,
т.е. свободный член в произ-ой по нормали
отсут-ет, то внутр. задача Неймана имеет
реш-е при вып-ии усл-я:
.
Если это вып-ся , то реш-е внутр. зад.
Неймана запишется:
.
В этом реш-ии
- произвольная const,
поэтому реш-е внутр. З.Н. определено с
точностью до const.
В случае внешней задачи её реш-е ищем в
виде:
.
Реш-е внешней задачи Неймана:
Интегральная теорема Гаусса.
При изучении смешанных задач в рассмотрение был введен оператор
При д-ве самосопряженности этого оп-ра была получена первая ф-ла Грина:
.
Пусть Х2=U,
X2=V.
-
вторая формула Грина. Если оп-р L[U]
=∆U,
то 2-ая ф-ла Грина имеет вид:
Будем
считать, что ф-ция U
явл. гармонической в Ω, а ф-ция V=1.
Тогда ∆U=0,
∆V=0.
.
Последнее выражение – матем. запись
теоремы Гаусса.
34. Метод Фурье решения задач Дирихле и Неймана для круговых областей.
.
Будем искать реш-я, кот. представляются
в виде
;
;
;
;
-
аналог задачи Штурма-Лиувиля.
;
;
.
Ур-ие по R:
;
;
;
;
;
;
Пусть
З
аметим,
что полученное решение позволяет решить
задачу Дирихле для кольца
Получим систему:
.
35. Интегральное представление произвольной функции
Теорема:
Если ф-ция U(x),
непрер. в обл. Ω, имеет в ней непрер.
вплоть до границы произв. 1-ого порядка
и непрер. в обл. Ω произв. 2-ого порядка,
то
◄
-фундаментальное
решение уравнения Лапласа. n
– размерность пространства, |Sn|
- площадь сферы единичного радиуса в
n-мерном
пространстве.
Известно, что функция En(x,ξ) явл. гармонической везде, исключ. т. ξ=x, где она обращ. в ∞. Вспомним вторую формулу Грина:
Эта формула справедлива и для случая областей, в кот. граница представляется объединением 2 границ. Во второй ф-ле Грина положим V=E и запишем её для случая объединения 2-х границ
Пусть
имеется произв. обл. Ω. Возьмем в ней т.
х, окружим шаром, площадь шаровой пов-ти
S.
Обл., заключ. м-ду Г и S,
обозн. Ω1.
Устремим ε→∞. ε-радиус сферы.
т.к.
в обл. Ω1
ф-ция En(x,ξ)
гармонич. и => ∆En(x,ξ)=0.
Отметим, что интеграл по Г от ε не зависит
и не меняется при ε→0. Остается найти
.Найдем
Т.к.
площадь пов-ти сферы радиуса R
в n-мерном
пр-ве равна S=|Sn|Rn-1,
т.о.
среднее
значение ф-ции на сфере радиуса ε.
Т.о.
Заметим,
что если U
– гармонич., то
- интегр. представление гармонической
ф-ции.►
36. Свойства гармонических функций: аналитичность и теорема о среднем на сфере
1. Теорема (об аналитичности гармонической функции). Ф-ция U(x) гармонич. внутри обл. Ω с границей Г имеет в этой обл. производные всех порядков.
◄ В обл. Ω возьмем произв. т. х и окружим
её некот. пов-тью σ, целиком лежащей в
обл. Ω. Т.к. U
явл. гармонич. в обл. Ω, то она явл.
гармонич. и в обл., огранич. пов-тями Г и
σ, причем в указ. обл. ф-ция U(x)
имеет непрер. произв. второго порядка.
Согласно интегр. предст. гармонич. ф-ции
можно записать
Т
.к.
т. х удалена из обл. Ω, то в интегр. по Г
можно находить производные по х любого
порядка.
В
интеграле по пов-ти σ т. η лежит на пов-ти
σ, а т. х наход. внутри неё и
Как в предыд. случае сущ. произв. по х любого порядка, кот. можно находить дифференц. под знаком интеграла по σ. Т.к. т. х явл. произв. точкой обл. Ω, то приходим к выводу о бесконечности дифференц. ф-ций U(x) в обл. Ω, т.е. её аналитичности в этой обл.►
2. Теорема (о среднем). Среднее значение на сфере функции гармонической в шаре, ограниченном этой сферой равно значению функции в центре шара.
Док-во:
Т.к.
функция является гармонической в шаре,
то согласно интегральному представлению
Пусть
- центр шара. Подынтегральное выражение
мы высчитываем на заданной поверхности:
