23.Самосопряженность дифференциального оператора. Формулы Грина.
При
изучении решения смешанных задач мы
ввели в рассмотрение линейный оператор:
При доказательстве самосопряженности этого оператора была получена первая формула Грина:
Меняя
местами функции
и
запишем еще одну формулу:
-
вторая формула Грина.
Заметим, что вторая формула Грина справедлива и для областей, ограниченных несколькими поверхностями.
Если
Здесь
положим
а
будем считать гармонической в ограниченной
области
получим:
суть
интегральной теоремы Гаусса.
Если
гармоническая
в ограниченной области
с границей
функция, то интеграл по границе от
производной по нормали этой функции
равен нулю. Интегральная теорема Гаусса
дает необходимое условие существования
решения внутренней задачи Неймана:
24.Смешанные задачи для неоднородных уравнений. Задачи с неоднородными граничными условиями.
(1)
(2)
(3)
Легко показать, что решение задачи (1) – (3) есть сумма решений задач
(4)
(5)
Задачу (4) мы решать умеем.
В
процессе решения задачи (4) мы найдём
собственные значения
и собственные функции
.
Теперь
решение задачи (5) будем искать в виде:
,
где
известные функции, а
подлежат определению.
т.к.
или
то с учётом
.
Для
определения неизвестных функций
имеем задачи Коши
уравнение
гиперболического типа.
уравнение
параболического типа.
Подставим
полученные решения этих задач в ряд
получим решение задачи (5).
25.Единственность решений смешанных задач для волнового уравнения и уравнения теплопроводности.
Будем рассматривать
(1)
L[U]=div(k(x)gradU)-q(x)U
,
,
и
непрерывны в некоторой области
,
а f(t,x),
g(t,x)
не прерывны в области
.
Справедлива следующая теорема :
Теорема.
Решение
задачи (1) непрерывное в области
вместе с частными производными по t
и x
единственно.
Док-во.
Предположим,
что задача (1) имеет два различных решения
,
тогда функция V
является решение задачи
(2)
При доказательстве самосопряженного диф-го оператора мы получили первую формулу Грина:
(I)
В
случае уравнений гиперболического
типа, в первой формуле Грина положим
, тогда получим
;
,
Т.к.
в случает граничного условии I-го
рода
или граничного условия II-
рода
,
,
.
В
случае граничного условия III-
го рода
и
,
.
В случае граничных условий III-го рода получаем :
.
Последнее
равенство проинтегрируем по
,
получим:
.
Т.к. подынтегральные выражения не отрицательны, а интегралы не отрицательны, то равенство нулю их суммы означает , что каждый интеграл обращается в ноль.
Но
так как
.
Рассмотрим
уравнение параболического типа, либо
ур-ие теплопроводности. В первой части
формулы Грина положим
Как и в случае ур-я гиперболического типа инт. :
Если граничное условие 1-го или 2-го рода. Интегрируем по t, получим:
.
.
Доказательство закончено.