- •1.Классификация уравнений в частных производных в точке (в области).
- •2.Приведение к каноническому виду уравнения 2 – го порядка в случае
- •3.Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами в случае независимых переменных.
- •4.Постановка задачи Коши. Теорема Ковалевской
- •5.Корректность постановки задачи. Пример Адамара.
- •6. Уравнения колебания струны
- •7.Малые продольные колебания упругого стержня
- •8.Малые крутильные колебания вала.
- •9. Телеграфное уравнение. Частные случаи.
- •10. Уравнение колебания мембраны
- •11. Уравнение теплопроводности
- •12.Задача Коши для одномерного волнового уравнения.
- •13.Осреднение функции на сфере и трехмерное волновое уравнение.
- •14.Задача Коши для трехмерного волнового уравнения. Формула Кирхгофа
- •15.Задача Коши для волнового уравнения. Метод спуска. Формула Пуассона.
- •16.Единственность и устойчивость решения задачи Коши для волнового уравнения.
- •17.Элементарное (фундаментальное) решение уравнения теплопроводности.
- •18.Задача Коши для уравнения теплопроводности.
- •19.Принцип экстремума для уравнений теплопроводности.
- •20.Единственность и устойчивость решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.
- •21.Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций.
- •22.Метод Фурье решения смешанных задач для однородных уравнений гиперболического и параболического типа.
- •23.Самосопряженность дифференциального оператора. Формулы Грина.
- •24.Смешанные задачи для неоднородных уравнений. Задачи с неоднородными граничными условиями.
- •25.Единственность решений смешанных задач для волнового уравнения и уравнения теплопроводности.
- •26.Свободные колебания прямоугольной мембраны.
- •27.Уравнение Бесселя. Функции Бесселя.
- •28.Радиальные колебания круглой мембраны.
- •29.Крутильные колебания вала с диском на конце.
- •30.Уравнение эллиптического типа.
- •31. Определение гармонической функции. Фундаментальное решение уравнения Лапласа
- •32. Решение задачи Дирихле для ур-я Лапласа внутри и вне круга.
- •33.Внутренняя и внешняя задача Неймана для круга. Необходимое условие существования. Теорема Гаусса
- •34. Метод Фурье решения задач Дирихле и Неймана для круговых областей.
- •35. Интегральное представление произвольной функции
- •36. Свойства гармонических функций: аналитичность и теорема о среднем на сфере
- •37.Свойства гармонических функций: принцип максимума/минимума.
- •38 Единственность и устойчивость решения задачи Дирихле.
- •39. Функция Грина в задаче Дирихле.
- •40.Функция Грина в задаче Неймана.
- •41.Формула Пуассона решения внутр. Задачи Дирихле для шара
- •42.Формула Пуассона решения задачи Дирихле для круга
- •43.Неравенство Харнака. Теорема Лиувилля
- •44. Поведение производных гармонической функции на бесконечности.
- •45. Единственность решения задачи Неймана.
- •46.Потенциалы:объемный, простого слоя, двойного слоя.
- •47. Свойства объемного потенциала
- •48. Свойства потенциала простого слоя
- •49.Свойства потенциалов двойного слоя.
- •50.Сведение краевых задач к интегральным уравнениям
10. Уравнение колебания мембраны
Опр. Мембрана – свободно изгибающаяся упругая пленка.
Б удем считать, что в положении равновесия мембрана расположена в плоскости XOY, занимает некоторую область и ограничена кривой Г.
Будем считать, что колебания мембраны являются малыми, причем все точки движутся перпендикулярно XOY. Величину отклонения мембраны от положения равновесия будем обозначать U(t,x,y). Малость колебаний означает, что величинами и можно пренебречь. Выделим часть мембраны в положении равновесия , ограниченной контуром ,
Найдем площадь поверхности : ; .
Вывод. В процессе малых колебаний изменение площади выделенной части мембраны не происходит в процессе колебаний силы натяжения не меняются.
T(x,y) – сила натяжения, F(t,x,y) – величина внешней силы приложенной в момент времени t к точке (x,y).
Введем элементарную площадь мембраны dxdy (Эл. участок), с плотностью пленки , тогда массой будет . F(t,x,y)dxdy – величина силы приложенной к площадке.
Сумма всех сил инерции приложенных к контуру (или участку мембраны) будет равна .
Сумма всех внешних сил . Будем считать, что силы натяжения лежат в плоскости касательной к поверхности и перпендикулярны векторам касательной к нормали в выбранной точке . Найдем теперь сумму проекций на ось Ou сил приложенных к контуру участка мембраны. Для этого через dS обозначим элемент дуги кривой .
T(x,y) – сила, приложенная в каждой точке этого элемента, тогда сила натяжения будет T(x,y)dS. Учтем теперь, что TTdS –вектор , направление которого перпендикулярно касательной к середине элемента dS и нормали к поверхности в этой же точке.
Если уравнение поверхности есть , то направление косинуса вектора нормали есть
, , . В нашем случае в роли f(x,y) выступает функция U(t,x,y) и учитывая, что и можно пренебречь . Вектор касательной можно представить в виде idx+jdy+kdz. Тогда направление вектора TdS совпадает с вектором равным векторному произведению векторов касательной и нормали.
. Тогда проекция вектора силы натяжения приложенного к участку dS ограниченным будет T(x,y)( dy- dx). Сумма проекций всех сил натяжения приложенных к контуру будет ; + , тогда
[ ]
.
. – уравнение колебания мембраны. В случае однородной мембраны , . – задача Коши. ( –силы натяжения =0 )
11. Уравнение теплопроводности
Из термодинамики известно, что количество тепла проходящее через площадку за время пропорционально площади площадки, времени и - производной по нормали, где - температура
Коэффициент характеризует плотность теплового потока, т.е. количество тепла, проходящее в единицу времени через единицу площади - величина теплового потока.
В трехмерном пространстве выделим объем и подсчитаем количество тепла, поступающего в этот объем за время :
Пусть внутри выделенного объема находятся источники тепла, объемная плотность которых , тогда количество тепла
Поступившее тепло идет на изменение температуры тела в момент времени . Обозначим - температура во время и - температура во время , - объемная плотность, - теплоемкость материала. Тогда количество тепла, необходимое для изменения температуры элементарного объема за время будет равно
Запишем теперь уравнение теплового баланса
Тогда
В случае однородного тела и уравнения
- задача Каши описывает процесс распространения тепла
- уравнение Пуассона
- уравнение Лапласа
Переходим к полярной системе координат
Тогда
- уравнение Лапласа в сферической системе координат.