48. Свойства потенциала простого слоя
А)
Потенциал простого слоя несущей
поверхности является функцией
гармонической
,
если несущая поверхность ограничена,
то
Б) Потенциал простого слоя определен во всем пространстве.
Нам
нужно показать, что если точка М
принадлежит несущей поверхности, то
интеграл
,
где
некоторая малая окрестность точки М
является сходящимся.
Интеграл сходиться и следовательно определен всюду.
В)
Потенциал простого слоя с не прерывной
плотностью
является функцией непрерывной во всем
пространстве
Утверждение: Потенциал простого слоя имеет производную по нормали по несущей поверхности из нутрии и из вне, причем :
Из
вне :
Изнутри
:
49.Свойства потенциалов двойного слоя.
В
дальнейшем нам понадобится понятие
поверхности Ляпунова. Замкнутую
поверхность
будем называть поверхностью Ляпунова,
если выполняются следующие условия:
1)
В каждой точке поверхности существует
касательная плоскость. Это позволяет
в каждой точке поверхности построить
местную или локальную систему координат,
ось
которой направлена по внешней нормали
поверхности.
2)
В этой системе координат часть поверхности,
заключено внутри шара с центром в начале
координат и достаточно малого радиуса
имеет уравнение:
причем частные производные
являются непрерывными функциями. Можно
показать, что если
ограниченная замкнутая поверхность
Ляпунова, то существует постоянная
Т
еорема
1. Вне
точек несущей поверхности потенциал
двойного слоя является функцией
гармонической
Теорема 2. Потенциал двойного слоя определен всюду.
Теорема:
Потенциал двойного слоя имеет пределы
при стремлении т.
к т.
,
несущей поверхности изнутри и извне.
Если обозначить
предел и из вне,
предел изнутри, то
50.Сведение краевых задач к интегральным уравнениям
Рассмотрим
замкнутую поверхность Летунова и
- задача Дирихле
Будем
искать решение задачи Дирихле в виде
потенциала двойного слоя
с неизвестной плотностью.
Выберем
функцию μ(ζ) таким образом, чтобы значение
потенциала двойного слоя в точке
принадлежало некоторой поверхности,
совпадающей с f(
).
При
решении внутренней задачи Дирихле
В
случае внешней задачи:
Решив одно из этих уравнений, найдем неизвестную плотность μ(x). Подставим её вместо неизвестной плотности в интеграл двойного слоя, решение задачи Дирихле сведется к взятию поверхностного интеграла.
Если
имеем задачу Неймана:
, то решение ищется в виде потенциала
простого слоя U(x)=
с неизвестным ρ(x).
Необходимо учитывать что в точках
границы значение потенциала должно
совпадать с соответствующим значением
производной по нормали.
Для
внутренней задачи неизвестная плотность
определяется уравнением: f(x)=
а для внешней: f(x)=
.