- •1.Классификация уравнений в частных производных в точке (в области).
- •2.Приведение к каноническому виду уравнения 2 – го порядка в случае
- •3.Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами в случае независимых переменных.
- •4.Постановка задачи Коши. Теорема Ковалевской
- •5.Корректность постановки задачи. Пример Адамара.
- •6. Уравнения колебания струны
- •7.Малые продольные колебания упругого стержня
- •8.Малые крутильные колебания вала.
- •9. Телеграфное уравнение. Частные случаи.
- •10. Уравнение колебания мембраны
- •11. Уравнение теплопроводности
- •12.Задача Коши для одномерного волнового уравнения.
- •13.Осреднение функции на сфере и трехмерное волновое уравнение.
- •14.Задача Коши для трехмерного волнового уравнения. Формула Кирхгофа
- •15.Задача Коши для волнового уравнения. Метод спуска. Формула Пуассона.
- •16.Единственность и устойчивость решения задачи Коши для волнового уравнения.
- •17.Элементарное (фундаментальное) решение уравнения теплопроводности.
- •18.Задача Коши для уравнения теплопроводности.
- •19.Принцип экстремума для уравнений теплопроводности.
- •20.Единственность и устойчивость решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.
- •21.Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций.
- •22.Метод Фурье решения смешанных задач для однородных уравнений гиперболического и параболического типа.
- •23.Самосопряженность дифференциального оператора. Формулы Грина.
- •24.Смешанные задачи для неоднородных уравнений. Задачи с неоднородными граничными условиями.
- •25.Единственность решений смешанных задач для волнового уравнения и уравнения теплопроводности.
- •26.Свободные колебания прямоугольной мембраны.
- •27.Уравнение Бесселя. Функции Бесселя.
- •28.Радиальные колебания круглой мембраны.
- •29.Крутильные колебания вала с диском на конце.
- •30.Уравнение эллиптического типа.
- •31. Определение гармонической функции. Фундаментальное решение уравнения Лапласа
- •32. Решение задачи Дирихле для ур-я Лапласа внутри и вне круга.
- •33.Внутренняя и внешняя задача Неймана для круга. Необходимое условие существования. Теорема Гаусса
- •34. Метод Фурье решения задач Дирихле и Неймана для круговых областей.
- •35. Интегральное представление произвольной функции
- •36. Свойства гармонических функций: аналитичность и теорема о среднем на сфере
- •37.Свойства гармонических функций: принцип максимума/минимума.
- •38 Единственность и устойчивость решения задачи Дирихле.
- •39. Функция Грина в задаче Дирихле.
- •40.Функция Грина в задаче Неймана.
- •41.Формула Пуассона решения внутр. Задачи Дирихле для шара
- •42.Формула Пуассона решения задачи Дирихле для круга
- •43.Неравенство Харнака. Теорема Лиувилля
- •44. Поведение производных гармонической функции на бесконечности.
- •45. Единственность решения задачи Неймана.
- •46.Потенциалы:объемный, простого слоя, двойного слоя.
- •47. Свойства объемного потенциала
- •48. Свойства потенциала простого слоя
- •49.Свойства потенциалов двойного слоя.
- •50.Сведение краевых задач к интегральным уравнениям
16.Единственность и устойчивость решения задачи Коши для волнового уравнения.
Всегда можно считать, что , т.к. замена
Для большей наглядности будем рассматривать случай 2-х переменных:
(1)
Справедлива следующая теорема:
Теорема. Задача Коши для волнового уравнения имеет не более одного решения.
Док-во. Допустим противное. Пусть различные решения (1).Обозначим их разность через . Тогда решение задачи:
(2)
Очевидно, что задача (2) имеет нулевое решение. Нам нужно показать, что других решений эта задача не имеет. В пр-ве возьмем т. и через нее как через вершину проведем конус
Проведем еще плоскость , получим вторую окружность. Конус наз. световым, или характеристическим конусом.
Воспользуемся тождеством:
Проинтегрируем это тождество по объему усеченного конуса . Тогда
Если функция решение задачи (2), то в левой части последнего равенства подынтегральное выражение равно нулю, сумма интегралов, стоящих в правой части обращается в нуль.
, где вектор нормали. Тогда
Но на нижнем основании согласно нач. условиям (2):
и
Рассмотрим поверхность :
(3)
На боковой поверхности направляющие косинусы вектора нормали удовлетворяют соотношению:
Образующие усеченного конуса наклонены к плоскости основания под углом 45 .
(4)
С учетом равенства (4) преобразуем выражение стоящее под знаком интеграла по боковой поверхности:
Но
Покажем, что решение задачи Коши устойчиво, т.е.
<
<
то , где
Обозначим через . Тогда решение задачи:
(5)
Решение задачи (5) определяется ф-лой Кирхгофа, т.е.
где среднее значение разности на сфере радиуса at с центром в т.
,
Устойчивость задачи Коши доказана. Ч.т.д.
17.Элементарное (фундаментальное) решение уравнения теплопроводности.
Рассмотрим сначала одномерное уравнение теплопроводности . Найти общее решение этого уравнения мы не можем. Это уравнение имеет бесконечное множество частных решений. Среди всех решений свёртка этого решения с единицей должна давать единицу, т.е. .
Воспользуемся преобразованием Фурье, и будем искать решение .
Найдём его: .
И – фундаментальное решение уравнения теплопроводности.
Заметим, что чаще используется не это решение, а функция , которая называется функцией Грина (функцией источника).
Определим теперь фундаментальное решение уравнение теплопроводности в случае произвольного числа пространственных решение, т.е. , .
Рассмотрим уравнение . Покажем, что функция является фундаментальным решением этого уравнения и покажем, что
– фундаментальное решение для двух пространственных переменных.
.
18.Задача Коши для уравнения теплопроводности.
Пусть имеем задачу (1)
Решение задачи (1) есть сумма решения двух задач:
(2) (3)
Решение задачи (2) есть свёртка начального условия и соответствующей функции источника (функции Грина).
формула Пуассона.
Покажем, что удовлетворяет уравнению задачи (2) и для него выполняется начальное условие этой задачи.
Начальное условие выполняется формула Пуассона остаётся верной.
Для решения задачи (3) воспользуемся принципом Дюамеля, согласно которому, если – решение вспомогательной задачи (4) . То решение задачи (3) определяется формулой (5).
; .
Если подставить решение задачи (3) получим:
. Функция удовлетворяет решению уравнения (3). И решение (3) .
Для нахождения функции во вспомогательной задаче сделаем замену .
(6). Решение задачи Коши можно определить с помощью формулы:
.