37.Свойства гармонических функций: принцип максимума/минимума.

Теорема: Если функция является гармонической в области и непрерывной вплоть до границы этой области, то внутри области она не имеет ни max ни min достигая своего наибольшего и наименьшего значения на границе области.

►Будем рассматривать только случай max.

Пусть функция удовлетворяет условию теоремы и достигает max значение в некоторой внутренней точке x области .

Окружим точку x шаровой поверхностью радиус которой выберем настолько малым, чтобы выполнялось неравенство , где -это произвольная точка лежащая на поверхности сферы или находящаяся внутри. Расстояние между точкой x и точкой . Всегда можно подобрать таким образом, чтобы

Рассмотрим теперь вспомогательную функцию

если точка совпадает с точкой x, то , это означает, что значение в точке x превосходит наибольшее значение этой функции на , так как

Отсюда следует, что max функции находится внутри шаровой поверхности.

полученное противоречие говорит о том, что max ф-ции v, а значит и u не может нах-ся во внутренней точке Ώ.

Аналогично рассм. случай min.

Т.к. ф-ция u(x) имеет непрерывные производные вплоть до гран-ой обл. , то по теор. Вейерштрасса max и min значения этой ф-ции достигаются на границе.◄

Следствие1: если ф-ция u(x) является гарм. в огр. обл. Ώ, то

Следствие2: если ф-ция u(x) является гарм. в неогр. обл. Ώ с конечной границей Г, то достигается на границе.

►окружим конечную границу сферой радиуса R. Обл. между границей и сферой конечна и ф-ция явл. гармонической в ней.

. Т.к. ф-ция u(x) является гарм. в неогр. обл. Ώ, то

Если R , то и из следствия 1 => что если , то u(x)=0◄

38 Единственность и устойчивость решения задачи Дирихле.

Теорема. Решение зад. Дирихле (внутр. или внешн.)для Ур-ния Лапласа или Пуассона и единственно, и устойчиво, т.е. про достаточно малом изменении граничных условий мало изменяется и решение.

►

Предположим, что эта зад. имеет два различных решения и . Разность решений обозначим v(x)= - .

На основании принципа экстремума и следствия из него v=0.=> = , т.е. решение единственно. (по опр.) как только разность между гран. усл-ями ,

: , : .

v(x)= - =>

◄

39. Функция Грина в задаче Дирихле.

Рассм. зад. Дирихле для ур-ния Лапласа .

Т.к. ф-ция u(x) явл. Гармонической в обл. Ώ, то в случае огр-ти этой обл., она допускает интегральное представление.

Возьмем некотор. Ф-цию q(x,ξ), котор. Является гармонической внутри обл. Ώ, как ф-ция переменной ξ, имеет вплоть до границы производные 1-ого порядка.

Запишем вторую формулу Грина в случае оп-ра Лапласа.

В этой формуле u оставим без изменения, а в кач-ве v возьмем q(x,ξ) => =0. сложим последнюю формулу с формулой определяющей интегральное представление гармонической в обл. Ώ ф-ции.

[ | = ]

- ф-ция Грина внутр. зад. Дирихле.

Ф-ция = наз. ф-цией Грина задачи Дирихле, если она удовлетворяет след. требованиям:

1. явл. гармонической в обл. Ώ исключая точку ξ=х, где она обращается в ∞.

2. 

3. в обл. Ώ ф-ция допускает представление = ,

где явл. гармонической как ф-ция переменной ξ в обл. Ώ.

Т.к. , .

Если , то решение задачи Дирихле свелось бы к вычислению интеграла от произведения гран. усл-я и производной по нормали ф-ции Грина.