- •1.Классификация уравнений в частных производных в точке (в области).
- •2.Приведение к каноническому виду уравнения 2 – го порядка в случае
- •3.Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами в случае независимых переменных.
- •4.Постановка задачи Коши. Теорема Ковалевской
- •5.Корректность постановки задачи. Пример Адамара.
- •6. Уравнения колебания струны
- •7.Малые продольные колебания упругого стержня
- •8.Малые крутильные колебания вала.
- •9. Телеграфное уравнение. Частные случаи.
- •10. Уравнение колебания мембраны
- •11. Уравнение теплопроводности
- •12.Задача Коши для одномерного волнового уравнения.
- •13.Осреднение функции на сфере и трехмерное волновое уравнение.
- •14.Задача Коши для трехмерного волнового уравнения. Формула Кирхгофа
- •15.Задача Коши для волнового уравнения. Метод спуска. Формула Пуассона.
- •16.Единственность и устойчивость решения задачи Коши для волнового уравнения.
- •17.Элементарное (фундаментальное) решение уравнения теплопроводности.
- •18.Задача Коши для уравнения теплопроводности.
- •19.Принцип экстремума для уравнений теплопроводности.
- •20.Единственность и устойчивость решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.
- •21.Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций.
- •22.Метод Фурье решения смешанных задач для однородных уравнений гиперболического и параболического типа.
- •23.Самосопряженность дифференциального оператора. Формулы Грина.
- •24.Смешанные задачи для неоднородных уравнений. Задачи с неоднородными граничными условиями.
- •25.Единственность решений смешанных задач для волнового уравнения и уравнения теплопроводности.
- •26.Свободные колебания прямоугольной мембраны.
- •27.Уравнение Бесселя. Функции Бесселя.
- •28.Радиальные колебания круглой мембраны.
- •29.Крутильные колебания вала с диском на конце.
- •30.Уравнение эллиптического типа.
- •31. Определение гармонической функции. Фундаментальное решение уравнения Лапласа
- •32. Решение задачи Дирихле для ур-я Лапласа внутри и вне круга.
- •33.Внутренняя и внешняя задача Неймана для круга. Необходимое условие существования. Теорема Гаусса
- •34. Метод Фурье решения задач Дирихле и Неймана для круговых областей.
- •35. Интегральное представление произвольной функции
- •36. Свойства гармонических функций: аналитичность и теорема о среднем на сфере
- •37.Свойства гармонических функций: принцип максимума/минимума.
- •38 Единственность и устойчивость решения задачи Дирихле.
- •39. Функция Грина в задаче Дирихле.
- •40.Функция Грина в задаче Неймана.
- •41.Формула Пуассона решения внутр. Задачи Дирихле для шара
- •42.Формула Пуассона решения задачи Дирихле для круга
- •43.Неравенство Харнака. Теорема Лиувилля
- •44. Поведение производных гармонической функции на бесконечности.
- •45. Единственность решения задачи Неймана.
- •46.Потенциалы:объемный, простого слоя, двойного слоя.
- •47. Свойства объемного потенциала
- •48. Свойства потенциала простого слоя
- •49.Свойства потенциалов двойного слоя.
- •50.Сведение краевых задач к интегральным уравнениям
46.Потенциалы:объемный, простого слоя, двойного слоя.
В точку помещаем заряд . Он создает электростатическое поле, вектор напряженности которого в точке определяется формулой , где – радиус вектор с началом в точке и концом в точке . . . Коэффициент зависит от выбранной системы единиц и от характеристик пространства. В дальнейшем . В этом случае компоненты вектора равны частным производным от с противоположным знаком.
Функцию называют потенциалом электростатического поля. . Пусть в некотором объеме распределены заряды с объемной плотностью . Тогда потенциал поля, создаваемый зарядом, распределенным по объему будет - потенциал объема.
Пусть заряд распределен по некоторой поверхности 1, тогда он определяется формулой - потенциал простого слоя.
Пусть дана ориентированная прямая и на ней отмечена точка А. По разные стороны от этой точки находятся заряды, одинаковые по величине и противоположные по знаку. Расстояние между ними h. Тогда потенциал в точке М будет равен . Если эти заряды приближать к точке А таким образом, чтобы каждый из них оставался по свою сторону от этой точки, то . Предположим теперь, что в процессе движения величина заряда q меняется таким образом, что . Тогда потенциал . Предельное положение зарядов называют диполем. Прямую l называют осью диполя, а величину p – моментом диполя. Пусть теперь ориентированную поверхность, существующую на этой поверхности распределен, заряд с моментом действия p(x). Потенциал, создаваемый этими зарядами равен - потенциал двойного слоя. Известно, что если подинтегральная функция интеграла обращается в бесконечность в некоторой точке области , то интеграл нельзя определить как предел интегральной суммы. Если существует конечный предел, то наш интеграл называется сходящимся. В случае несобственных интегралов, зависящих от параметров, существуют признаки сходимости.
47. Свойства объемного потенциала
Рассмотрим объемный потенциал
Справедлива следующая теорема
Теорема 1 Если плотность ограничена и интегрируема в области V, то объемный потенциал является функцией гармонической вне этой области
Так как точка х лежит вне объема V, то объемный потенциал является собственным интегралом. Это означает, что функция u(x) непрерывна и имеет непрерывные производные всех порядков, которые могут быть найдены дифференцированием под знаком интеграла.
1)
2)
П окажем это:
1) , т.к. - гармоническая, кроме
2) Проверим выполнение условия на
Для оценки последнего интеграла поместим начало координат в некоторую т.О
Всегда можно считать, что , где d – диаметр области V. Выберем точку M настолько удаленной от V, чтобы
,
Тогда получаем, что
Теорема 2. Если плотность ограничена и интегрируема в области V, то потенциал U(x) и его частные производные 1-го порядка определены во всем пространстве и эти производные могут быть найдены дифференцированием под знаком интеграла.
Достаточно показать, что функции
Определены через несобственные интегралы, которые равномерно сходятся в любой точке M области
Опр. Интеграл по некоторой области называется равномерно сходящейся в т.M, если и для любой точки с координатой и расстояние и для любой области , диаметр которой выполняется .
Если точка находится вне области V,то объемный потенциал представляет собой собственный интеграл. Поэтому его можно дифференцировать по переменной х и эти производные будут находиться посредством взятия производных под знаком интеграла.
Если точка М находится внутри V, то объемный потенциал представляет собой несобственный интеграл и для определения объемного потенциала внутри V необходимо показать равномерную сходимость в любой точке М обл. V. Для этого оцениваем интеграл:
Покажем равномерную сходимость несобственного интеграла, представляющего производную от объемного потенциала по х:
Покажем, что действительно представляет собой производную от функции И по х
В области V возьмем шар радиуса с центром в точке М. Через обозначим , тогда
;
первое слагаемое представляет собой разность между производной и , но так как в области все слагаемые являются собственными интегралами, то
значит
рассмотрим второе слагаемое
;
Найдем теперь оценку для
Получим оценку
;
Функция действительно является производной.
Следующее утверждение приведем без доказательства
Т еорема 3. Если плотность непрерывна в области (включая границу), имеет непрерывные в области V производные 2-го порядка, то объемный потенциал имеет непрерывные в V производные 2-го порядка и удовлетворяет уравнению Пуассона