7.Малые продольные колебания упругого стержня

Под стержнем понимается тело призматической или круглой формы (цилиндр), для растяжения и сжатия которого требуется некоторое усилие.

Будем предполагать, цилиндрическую форму

Будем считать, что все силы, действующие на сечение стержня, направлены вдоль х. Предполагаем, что в процессе растяжения или сжатия сечение стержня остаются перпендикулярными оси стержня и не изменяют своей формы. Каждое сечение стержня может отодвигаться от положения равновесия. Величину этого смещения обозначим через .

Смещение сечения стержня обусловлено приложенной к этому сечению силы. Величина этой силы , где - площадь поперечного сечения в точки х, - модуль упругости (Юнга), - смещения сечения с координатой х стержня.

Пусть - объемная плотность стержня. Тогда выделим теперь элемент стержня длиной .

-уравнение продольных колебаний стержня.

Если стержень однородный, то

И уравнение имеет вид

8.Малые крутильные колебания вала.

Под валом понимается круглый цилиндрический стержень. Для упрощения уравнения – стержень однородный и постоянного сечения. Из теории сопротивления материала считается, что при кручении вала его сечения остаются плоскими и сохраняют между собой первоначальное расстояние. Так как нас будут интересовать относительные повороты сечения друг относительно друга, то любое из сечений можно считать неподвижным.

Неподвижное левое сечение вала u. Часть вала длинной

Тогда

При повороте сечения на него действуют только касательные усилия (напряжения). Величина касательной напр. Обозначают буквой , где G-модуль сдвига, характеризует материал стержня, а угол -угол сдвига.

М ы посчитали усилия, приходящиеся на малый элемент площади сечения с координатой

При малых поворотах

Усилие приходиться на площадку ds будет равно

Тогда усилие, приходящееся на все сечение или закручивающий момент по всему сечению – М равен

Обозначим радиус сечения вала через R. Тогда закр. момент ко всему сечению равен -полярный момент инерции сечения.

Подсчитаем момент внешних сил, приложенных к участку вала, длинной :

По известному закону вращ. движения запишем -момент инерции относительно оси вращения участка вала длинной

Если через K обозначить момент инерции вала, приходящийся на единицу его длинны то и уравнение принимает вид

9. Телеграфное уравнение. Частные случаи.

Рассмотрим двухпроводную линию напряжения U(t,x) и ток I(t,x)

R–активное сопротивление

C–емкость

L–индуктивность

G–активная проводимость между проводами

I(t,x+ x)-I(t,x)= (t,x) x

U(t,x+ x)- = (t,x) x

И зменение силы тока на рассматриваемом участке обусловлены током утечки: UG x и током смещения C x, тогда I(t,x)-I(t,x+ x)= x(UG+ C ) или (t,x) x. .Аналогичным образом разность напряжений в начале и конце рассматриваемого участка равно падению напряжения на активном участке и индуктивного падения напряжения U(t,x)-U(t,x+ x)=RI x+L x.

+RI+L =0 (1) +UG+C =0 (2)

Если продифференцируем (2) по t и (1) по х, то получим

+R +L =0;

; ; ;

– это уравнение называется телеграфным. Аналогичное уравнение можно получить и для тока I (заменить I на U). Т.к. общее решение этого уравнения найти невозможно, то попытаемся поставить какую-то конкретную физическую задачу. Предположим, что линия имеет бесконечную длину. Это означает, что граничными условиями можно пренебречь. Остановимся только на начальных условиях. В начальный момент задается распределение напряжения и сила тока . Из уравнения (2) находим ;

Рассмотрим некоторые частные случаи телеграфного уравнения. Будем считать, что линия не имеет потерь. Это означает, что активное сопротивление R=0 и проводимость G=0. Тогда телеграфное уравнение примет вид: ; ; ,

Рассмотрим случай линий без искажений RC=LG.

В телеграфном уравнении сделаем замену . ; ; ; ; ;

 ;

;

Закон изменения напряжения такой же и в случае без потерь, только с уменьшенной амплитудой.