- •1.Классификация уравнений в частных производных в точке (в области).
- •2.Приведение к каноническому виду уравнения 2 – го порядка в случае
- •3.Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами в случае независимых переменных.
- •4.Постановка задачи Коши. Теорема Ковалевской
- •5.Корректность постановки задачи. Пример Адамара.
- •6. Уравнения колебания струны
- •7.Малые продольные колебания упругого стержня
- •8.Малые крутильные колебания вала.
- •9. Телеграфное уравнение. Частные случаи.
- •10. Уравнение колебания мембраны
- •11. Уравнение теплопроводности
- •12.Задача Коши для одномерного волнового уравнения.
- •13.Осреднение функции на сфере и трехмерное волновое уравнение.
- •14.Задача Коши для трехмерного волнового уравнения. Формула Кирхгофа
- •15.Задача Коши для волнового уравнения. Метод спуска. Формула Пуассона.
- •16.Единственность и устойчивость решения задачи Коши для волнового уравнения.
- •17.Элементарное (фундаментальное) решение уравнения теплопроводности.
- •18.Задача Коши для уравнения теплопроводности.
- •19.Принцип экстремума для уравнений теплопроводности.
- •20.Единственность и устойчивость решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.
- •21.Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций.
- •22.Метод Фурье решения смешанных задач для однородных уравнений гиперболического и параболического типа.
- •23.Самосопряженность дифференциального оператора. Формулы Грина.
- •24.Смешанные задачи для неоднородных уравнений. Задачи с неоднородными граничными условиями.
- •25.Единственность решений смешанных задач для волнового уравнения и уравнения теплопроводности.
- •26.Свободные колебания прямоугольной мембраны.
- •27.Уравнение Бесселя. Функции Бесселя.
- •28.Радиальные колебания круглой мембраны.
- •29.Крутильные колебания вала с диском на конце.
- •30.Уравнение эллиптического типа.
- •31. Определение гармонической функции. Фундаментальное решение уравнения Лапласа
- •32. Решение задачи Дирихле для ур-я Лапласа внутри и вне круга.
- •33.Внутренняя и внешняя задача Неймана для круга. Необходимое условие существования. Теорема Гаусса
- •34. Метод Фурье решения задач Дирихле и Неймана для круговых областей.
- •35. Интегральное представление произвольной функции
- •36. Свойства гармонических функций: аналитичность и теорема о среднем на сфере
- •37.Свойства гармонических функций: принцип максимума/минимума.
- •38 Единственность и устойчивость решения задачи Дирихле.
- •39. Функция Грина в задаче Дирихле.
- •40.Функция Грина в задаче Неймана.
- •41.Формула Пуассона решения внутр. Задачи Дирихле для шара
- •42.Формула Пуассона решения задачи Дирихле для круга
- •43.Неравенство Харнака. Теорема Лиувилля
- •44. Поведение производных гармонической функции на бесконечности.
- •45. Единственность решения задачи Неймана.
- •46.Потенциалы:объемный, простого слоя, двойного слоя.
- •47. Свойства объемного потенциала
- •48. Свойства потенциала простого слоя
- •49.Свойства потенциалов двойного слоя.
- •50.Сведение краевых задач к интегральным уравнениям
26.Свободные колебания прямоугольной мембраны.
Уравнение свободных колебаний мембраны имеет вид:
Р ешение нашей задачи ищем в виде:
разделим переменные: . Тогда получим уравнение:
(1)
Решение задачи (1) будем искать в виде, т.е применим разделение переменных, тогда граничные условия задачи (1) примут вид:
Решаем задачу (2):
Рассмотрим задачу (3):
Обозначим тогда
-собственные значения задачи (3).
-собственные значения задачи (1).
-собственные ф-ии задачи (1)
Система функций ортогональна в области Ф-ия T(t) будет зависеть от задачи (1) и определяется:
Решение нашей задачи представляется в виде ряда:
27.Уравнение Бесселя. Функции Бесселя.
Ур-ие -носит название уравнения Бесселя к-ого порядка к- любое число. Рассмотрим частный случай к=0 б т.е нулевого порядка: это ур-ие определено во всех точках кроме x=0.Будем искать решение этого урав-ия в виде:
Подставляем коэффициенты в уравнение:
Нечётные коэффициенты этого ряда все равны 0.
т.о получаем ряд: . Положим ,тогда сумма этого ряда - ф-ия Бесселя нулевого порядка.
Линейное ур-ие 2-ого порядка имеет 2-а линейно независимых решения ,одно из них мы нашли, второе реш-ие линейно независимое с найденным носит название ф-ии Неймана, структура этого решения значительно сложнее и мы не будем на нем останавливаться.
Рассмотрим теперь ур-ие: .Сделаем замену: тогда
-уравнениеие Бесселя с независимой переменной 𝜉.Решение этого уравнения ,а исходного - какое-то число. Покажем ,что функция является ортогональной на [0,1] с весом x .
Первое уравнение умножим на , второе на и отнимем.
Легко показать, что под знаком интеграла в правой части равенства (1) стоит:
т.о правая часть равенства (1) равна
П одстановка нижнего предела сделаем 0,а положив в (2)
И учитывая приходим к выводу, что выражениеие (2)=0,т.о ортогональность ф-ии доказана.
Найдём нормирующий множитель этой системы ф-ий ,т.е
.
В равенстве (1) положим тогда:
28.Радиальные колебания круглой мембраны.
Уравнения колебаний мембраны в декартовой системе координат имеет вид: перейдём к полярной системе координат:
Будем считать, что отклонение точек мембраны не зависит от тогда эти колебания описываются с помощью следующей модели:
Решение будем искать в виде:
Решение уравнения задачи Ш-Л является функция -функция Бесселя.
Согласно граничному условию -собственные значения
- собственные функции
Удовлетворяет уравнению и гранич. условию задачи о радиальных колебаниях. Т.к
Обозначим
Подставив и в ряд. Решения получим закон радиальных колебаний круглой мембраны с закреплённым контуром.
29.Крутильные колебания вала с диском на конце.
Будем считать, что левый конец вала закреплён, а на правом конце находится диск, длина вала l .В начальный момент времени диск повернули на угол и отпустили без начальной скорости. Радиус диска R,то .С другой стороны отметим угол .
. Отсюда поворот сечений в начальный момент времени. Т.к диск отпущен без начальной скорости, то угловые скорости=0 т.е .Крутильные колебания однородного вала определяется ур-ем: .
Если бы на правом конце вала диск отсутствовал ,то вращающий момент был бы =0,т.е .
Т.к в нашем случае роль внешней силы играет диск то вращающий момент
Где - момент инерции диска относительно оси вращения, тогда:
, тогда задача о крутильных колебаниях такого вала зап-ся:
Решение задачи U(t,x) будем искать в виде: .
Подставим ф-ию U в урав-ие, получим:
2 граничное условие имеет вид:
-задача Штурма –Лиувилля
Попробуем её решить: из условия X(0)=0 ⟹X=
Обозначим эти решения . Тогда собственные ф-ии будут равны
Найдём T(t) для его опр-ия получим ур-ие: тогда .
Тогда решение имеет вид: .Для определения коэффициентов
Воспользуемся начальными условиями:
Для возможности разложения ф-ии в ряды по необходимо ,чтобы сис-ма ф-ий была ортогональна на [0,l]
⟹система ф-ий неограниченна на [0,l].Оказывается ,что система функций является ортогональной, проверим это:
Т.е. система ортогональна на [0,l]. Продифференцируемем ряд
⟹решение нашей задачи запишетсяся в виде: ,где .