54. Признаки сходимости рядов с положительными членами.

Пусть a₁ + a₂ + … + a_n + = _n=1^ a_n = S_n – числовой ряд, каждый член которого положителен. Такой ряд называется рядом с положительными членами или просто положительным числовым рядом. S₁ = a₁ > 0, S₂ = a₁ + a₂> 0, {S_n}- возрастающая числовая последовательность Признаки сходимости положительных числовых рядов. Для того, чтобы положительный ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частных сумм была ограничена. Признаки сравнения

Пусть заданы два положительных числовых ряда:

u₁ + u₂ + … + u_n + = _n=1^ u_n , u_n > 0 для  n

v₁ + v₂ + … + v_n + = _n=1^ v_n , v_n > 0 для  n

Теорема 1. (признак сравнения)

1) Если n  N: u_n  v_n и ряд _n=1^ v_n – сходится, то и ряд _n=1^ u_{n –} сходится.

Если n  N: u_n  v_n и ряд _n=1^ u_n – расходится, то и ряд _n=1^ v_{n –} расходится.

^{n   k = const}

,

1. Из сход ряда сход.

2) если расход. расход

Следствие то верно заключение теоремы 1.

Замечание Т1.верна, если неравенство 0<a_n <b_n выполн. с некоторого места.

Теорема 2 (предельный признак сравнения)

2) Если  lim u_n/v_n = k, то ряды либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

Пусть b_n >0_, a_n>0 , тогда 1.0<C< , то и сход. или расход.

2.С=0 , то сх сх. , расх расх

3. ,то расх расх , сх сх

Замечание 1.если , 2. , ,

55. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Признак Даламбера

Если _n=1^ u_n – положительный ряд, для которого lim u_n+1/u_n = L, то

^{n  }

1. при L < 1 ряд сходится

2. при L > 1 ряд расходится

3. при L = 1 необходимы дополнительные исследования.

Док-во:

56. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Интегральный признак Коши. Степенной признак сравнения.

Если (х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;), то ряд (1) + (2) + …+ (n) + … = и несобственный интеграл одинаковы в смысле сходимости.

Пример. Ряд сходится при >1 и расходится 1 т.к. соответствующий несобственный интеграл сходится при >1 и расходится 1. Ряд называется общегармоническим рядом.

Следствие. Если f(x) и (х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и то интегралы и ведут себя одинаково в смысле сходимости.

Теорема. Пусть _n=1^u_n - положительный ряд, для которого 1) u_n= f(n); 2) y = f(x) определена для  x  1, непрерывна и возрастает, тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл ₁∫^+f(x)dx, причем если он сходится , то _n=1^ u_n = ₁∫^+f(x)dx

Для того, чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху.

- интегральный признак сходимости

Теорема (Коши-Маклорена)

f(x)

1. f(x)

2. f(x) _– непр.

3. f(x) монот. убывает (не возраст)