27. Ду второго порядка, допускающие понижение порядка. Примеры

ДУ порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается F(x,y,y’,y”)=0 или y”=f(x,y,y’), разрешённое относительно старшей производной. Суть метода понижения порядка состоит в том, что с помощью замены переменной(подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже. 3 типа ур-ий, допускающих понижение порядка. 1) y’’=f(x) (вводим новую функцию р(х),положив у’=p(x), тогда y”=p’(x), зн. p’= f(x). Находим функцию р=p(x),решаем ф-ию у’=p(x), получаем общее решение заданного уравнения. Пример: y⁴ = sin2x. последовательно интегрируем четыре раза исходное уравнение. 2)y”=f(x;y’). y’=p, где p=p(x)- новая неизвестная функция. y”=p’ и уравнение принимает вид p’=f(x,p) Пример: y”-y’/x=0. 3) y”=f(y,y’).Вводим р=р(у), полагая у’=р. Дифференцируем это равенство по х, учитывая что р=р(у(х)). Пример: y”-(y’)²+ y’(y-1)=0

28. Ду второго порядка. Общие понятия примеры

ДУ порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается F(x,y,y’,y”)=0 или y”=f(x,y,y’), разрешённое относительно старшей производной. Решением ДУ называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. График всякого решения ДУ второго порядка называется интегральной кривой. Теорема существования и единственности задачи Коши: Если в уравнении y”=f(x,y,y’) функция и её частные производные f’_y f’_y^’ непрерывны в некоторой области D изменения переменных x,y и y’, то для всякой точки (x₀,y₀,y₀’) принадлежащей D существует единственное решение y=j(x) уравнения y”=f(x,y,y’), удовлетворяющее начальным условиям.

29. Линейные ду n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение вида b₀(x)y⁽ⁿ⁾+b₁(x)y^(n-1)+…+b_n(x)y^(n-1)=g(x)(*) – линейное ДУ n-го порядка. b₀(x), b₁(x), b_n(x) – коэффициенты уравнения, g(x)-свободный член. Если g(x)=0, то уравнение (*) называется линейным однородным, в противном случае неоднородным.

32. Система линейных ду и их решения методом сведения к ду

Системой ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производные.

Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей n искомых ф-ций y_1, y_2…y_n :

Система ДУ первого порядка, разрешённых относительно производной , т.е. система вида

(1)

Называется нормальной системой ДУ. При этом предполагается , что число уравнений равно числу искомых функций.

Решением системы (1) называется совокупность из n ф-ций у_1, у_{2, …} y_{n ,} удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

Начальные условия для системы(1) имеют вид y₁(x₀)=y₁⁰ , y₂(x₀)=y₂⁰,…,y_n(x₀)=y_n⁰

Задача Коши для системы(1) ставится следующим образом: найти решение системы(1), удовлетворяющее начальным условиям. Условия существования и единственности решения задачи Коши описывает следующая теорема.

Теорема

Если в системе (1) все ф-ции f_i(x,y₁,….y_n) непрерывны вместе со всеми своими частными производными по y_i в некоторой области D ((n+1)-мерного пространства), то в каждой точке M₀(x₀,y₁⁰,y₂⁰,…y_n⁰) этой области существует, и притом единственное , решение

y₁= ₁(x), y₂= ₂(x)….y_n= _n(x) системы, удовлетворяющее начальным условиям.

Меняя в области D точку М₀(начальные условия), получим бесчисленное множество решений , которое можно записать в виде решения , зависящего от n произвольных постоянных. Это решение является общим , если по заданным начальным условиям можно определить постоянные. Решение , получающееся из общего при конкретных значениях постоянных называется частным решением системы.

Метод интегрирования системы ДУ(метод исключения)- когда какого-либо ур-ия системы выражается какая-либо ф-я через оставшиеся и подставляется в другие ур-ия. В результате получаем систему из n-1 ур-я ДУ относительно n-1 неизвестной ф-ии. После конечного числа таких шагов приходим к одному или нескольким ур-иям и интегрирование системы заменяется интегрированием нескольких ДУ.