74. Свойства плотности распределения св. Примеры. Ряд распределения

Ф-ию p(x) будем называть плотностью распределения вероятностей непрерывной СВ ξ, если вероятность того, что ξ принимает значения из промежутка (-∞;x) равна интегралу от этой ф-ции в пределах от -∞ до x, т.е.

F(x)=P( )= Следовательно, если ф-ция p(x) непрерывна в точке x, то ф-ция распределения F(x) дифференцируема в этой точке причём p(x)=F’(x)

Свойства плотности распределения 1.p(x)>=0 при всех x, т.к. F(x)-неубывающая ф-ция

2. Геометрические св-ва 1 и 2 означают что график плотности распределения лежит не ниже оси Ox и площадь под графиком плотности равна 1.

3.Вероятность попадания непрерывной СВ в интервал, отрезок или полуитервал с одними и теми же концами одинаковы и равны определённому интегралу от плотности вероятности на этом промежутке:

P( )=P(α<ξ=<β)=P(α<ξ<β)=P (α=<ξ<β )=

Из этого равенства следует, что геометрически вероятностьP( α=<ξ=<β) представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной графиком плотности вероятности и отрезками прямых y=0, x=a, x=b.

Ряд распределения

Для того чтобы задать дискретную СВ , достаточно перечислить все её возможные значения и указать, с какими вероятностями она их принимает. Тогда з-н распределения удобно задать в виде таблицы, в которой перечислены все возможные значения СВ ξ и соответствующие им вероятности

ξ	X1	X2	…	Xm	…
P	p1	p2	…	pm	…

Эта таблица называется рядом распределения дискретной СВ . Читается таблица следующим образом: СВ ξ принимает значения x_m с вероятностью p_m m=1,2,… Числа p_m должны удовлетворять следующим условиям : p_m>=0,

p₁+p₂+…+p_m+…=1

поскольку в результате испытания величина ξ всегда примет одно из значений x₁,x₂,…, а p_m-вероятность несовместных событий , образующих полную группу.

75. Математическое ожидание св и его свойства

Математическим ожиданием дискретной СВ называется число, равное сумме произведений её значений на соответствующие вероятности:

M ξ=x₁p₁+x₂p₂+…+x_mp_m+… , где x_m-(m=1,2,..)-возможные значения СВ, а p_m(m=1,2,..)-соответствующие им вероятности. Математическое ожидание М ξ непрерывной СВ ξ определяется по формуле: M ξ= Свойства мат. ожидания: 1.М ξ=const (ξ=const) 2.M(c*ξ)=c*M ξ(постоянную можно выносить за знак МО, с=сonst) 3.M(ξ+ )=M ξ+M 4.M (ξ * )=M ξ*M (если СВ независимы, т.е. и )

76. Дисперсия св и ее свойства. Среднеквадратическое отклонение.

Дисперсией D называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания т.е. Свойства дисперсии: 1. (c=const) 2. 3. c=const 4. 5. 6. Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии: 77.Числовые характеристики СВ. Понятие о начальных и центральных моментах. Важнейшими числовыми характеристиками являются математическое ожидание и дисперсия СВ. Математическое ожидание характеризует центр распределения СВ;это есть в некотором смысле среднее значение СВ. Дисперсия характеризует разброс значений СВ относительно ее математического ожидания.(см.76 и 75)

Начальный момент s-го порядка СВ есть математическое ожидание s-й степени этой случайной величины: = M[ ].

Математическое ожидание случайной величины является начальным моментом первого порядка.

Ц ентральным моментом s-го порядка СВ есть математическое ожидание s-й степени центрированной случайной величины: = M[ ].

Очевидно, что для любой случайной величины Х центральный момент первого порядка равен нулю: