57. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Знакочередующиеся ряды – ряды, члены которых имеют чередующие знаки.

Теорема Лейбница Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и стремяться к нулю, когда n,то 1) ряд сходится; 2) любой остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого из своих членов и имеет одинаковый с ним знак.

Теорема:признак Лейбница: Если убывая 1) 2) последовательность an монотонно убывает, то ряд сходится при этом

Доказательство.

n=2m, (S2m)-возраст. последов.

ограничена, сходится

Рассмотрим ,

Пусть дан ряд а₁-а₂+а₃-а₄+…+(-1)^n-1а_n+… и известно, что а_n>a_n+1 для всех n и a_n0 при n.Рассмотрим частичную сумму ряда с чётным числом членов S_2n= а₁-а₂+а₃-а₄+…+a_2n-1-a_2n= (а₁-а₂)+(а₃-а₄)+…+(a_2n-1-a_2n). В силу первого условия все разности в скобках положительны, поэтому последовательность частичных сумм {S_2n} является возрастающей. Докажем, что она является ограниченной. Для этого представим S_2n в виде S_2n= а₁-[(а₂-а₃)+(а₄-а₅)+…+(а_2т-1-a_2n-1)+a_2n]. Выражение в квадратных скобках положительно, поэтому S_2n<a₁ для любого n, т.е. последовательность {S_n} ограничена. Итак, последовательность {S_n} возрастающая и ограниченная, следовательно, она имеет предел lim S_2n=S. Так как S_2n+1=S_2n+a_2n+1, и по условию lim a_2n+1=0, то lim S_2n+1=limS_2n=S ^{n n n} Докажем теперь второе утверждение. Рассмотрим остаток ряда а₁-а₂+а₃-а₄+…+(-1)^n-1а_n+… с чётным номером 2k: R_2k=a_2k+1- a_2k+2+… Этот ряд является знакочередующимся и он удовлетворяет всем условиям теоремы, поэтому выполняются оценки 0<R_2k<a_2k+1. Что касается остатков ряда с нечётными номерами, то любой из них можно записать в виде R_2k+1= -a_2k+2+a_2k+3-…=-(a_2k+2-a_2k+3+…). Ряд в скобках снова удовлетворяет условиям теоремы, поэтому 0<-R_2k+1<a_2k+2 или -a_2k+2< R_2k+1<0. Сходимость ряда вместе с неравенствами 0<S<a_1, 0<R_2k<a_2k+1 и -a_2k+2< R_2k+1<0 полностью доказывает теорему. Замечание:1)Признак Лейбница явл. достаточным услов.2) теорема остается справедливой в части сходимости если монот. послед. An выполняется с некоторого места.

58.Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Числовой ряд ,содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным.

Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.

Пусть дан знакопеременный ряд u₁+u₂+…+u_n…Если сходится ряд │u₁│+│u₂│+…+│u_n│…,составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Основные свойства абсолютно сходящихся рядов:

1.Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд (теорема Дирихле).

2.Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S₁ и S₂ можно почленно складывать (вычитать).В результате получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S1 + S2 (или соответственно S1 - S2 ).

3.Под произведением двух рядов u1+u2+… и v1+v2+…понимают ряд вида (u₁v₁)+(u₁v₂+u₂v₁)+(u₁v₃+u₂v₂+u₃v₁)+…(u₁v_n+u₂v_n-1+ …+u_nv1)+…

Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами S₁ и S₂ есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S_1*S_2.