24. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. Геометрическая интерпретация. Теорема существования.

ДУ первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y=y(x) и ее первую производную y’. F(x,y,y’)=0

Решением ДУ называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

ДУ можно записать в дифференциальной форме: P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0, где P(x;y) и Q(x;y)-известные функции.

Теорема существования. Если функция f(x,y) определена и непрерывна в области D вместе со своей частной производной по неизвестной функции y, то для всякой точки М(x₀,y₀), принадлежащей области D в некоторой окрестности точки М, существует единственное решение y=j(x) уравнения y’=f(x;y), удовлетворяющее начальному условию. Геометрически это означает, что при выполнении условий теоремы через каждую внутреннюю точку области D проходит единственная интегральная кривая.

Функция y=j(x,c), зависящая от аргумента x и произвольной постоянной c, называется общим решением уравнения y’=f(x;y), в области D, если она удовлетворяет условиям:

1) при любых значениях произвольной постоянной c, принадлежащих некоторому множеству, y=j(x,c) является решением уравнения y’=f(x;y),;

2) какова бы ни была точка(x₀,y₀), лежащая внутри области D, существует единственное значение постоянной _c=c0, такое, что решение y=j(x,c) удовлетворяет начальному условию .y(x₀)=y₀

Значение _c=c0 можно найти из условия y₀=j(x₀,c₀)Всякое решение y=j(x,c₀) уравнения , получающееся из общего решения y=j(x,c) при конкретных значениях _c=c0 , называется частным решением.

25. Ду с разделяющимися переменными и однородные.

Наиболее простым ДУ первого порядка является ур-ие вида P(x)dx+Q(y)dy=0 (1), в нём одно слагаемое зависит только от х, другое от у. Такие ДУ называют с разделёнными переменными. Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид P₁(x)Q₁(x)dx+ P₂(x)Q₂(x)dy=0(2). Ур-ие (2) сводится к ур-нию (1) путём почленного деления его на Q₁(x) P₂(x), что не равно нулю. Далее решаем общий интеграл.

Функция f(x;y), называется однородной функцией n-го порядка, если при умножении каждого её аргумента на произвольный множитель Л(лямбда) вся функция умножается на Лⁿ , f(Лx;Лy)= Лⁿ f(x;y). ДУ y’=f(x;y) называется однородным, если ф-ия f(x;y) есть однородная функция нулевого порядка. Однородное ур-ие преобразуется в ур-ие с разделяющимися переменными при помощи замены переменной y/x=u.

26.Линейные ду и способы их решения.

ДУ первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде y’+p(x)*y=g(x),где p(x) и g(x)-заданные ф-ии. Способы решения:1) метод Бернулли, замена y=uv, u=u(x) и v=v(x).Откуда y’=u’v+uv’. 2) метод Лагранжа(метод вариации произвольной постоянной). Метод вариации произвольной постоянной состоит в том, что постоянную с в полученном решении заменяем функцией с(x), т.е. с=с(х)