4) V.P. Интеграл
V.P.
интеграл
,
если этот предел сущ. и конечен, то говорят, что интеграл сходится в смысле главного значения. Ясно, что, если интеграл сходится в смысле главного значения, то он не обязательно сходится, на что указывает пример:
не существует
V.P.
=
Будем теперь считать, что I= [a;+∞), (-∞;b], (-∞;+∞) один из промежутков
,
c=
-∞ для (-∞;b],
c= +∞ для [a;+∞),
c= ∞ для (-∞;+∞).
Имеет место след. признаки сравнения для нес. интегралов (для знак постоянных ф-ций):
Непредельный
0≤f(x)≤g(x),
x
I
—сход.
—
сход.
0≤f(x)≤g(x), x I —расход. — расход.
Предельный
Если
0
или ∞
и
сходятся или расходятся одновременно.
Если
на ряду со сходимость нес. интеграла
по промежутку имеет место сходимость
интеграла от модуля
,
то исходный интеграл называется
абсолютносходящимся.
17. Несобственные интегралы от неограниченной функции
Рассмотрим промежуток I одного из трех следующих типов:
I=(a;b], I=[a;b), I=[a;c)(c;b], а также функцию f(x) неограниченную на этом промежутке:
f(x),
x
I,
интегрируема на любом [a;b]
I
Пусть
f(x)
интегрируема на 
[a;b]
I,
тогда несобственный интеграл по
промежутку I
определяется
как предел:
I=(a;b] :
I=[a;b) :
I=[a;b] :
)
Если интеграл (3) не сущ. :
I=[a;b] : V.P.
)
, если
соответствующий предел сущ. и конечен.
В этом случае соответствующий несобственный интеграл назыв. сходящимся, в противном случае расходящимся.
Если на ряду со сходимость нес. интеграла по промежутку имеет место сходимость интеграла от модуля , то исходный интеграл называется абсолютносходящимся.
Признаки сравнения (для знакопостоянных функций):
Непредельный
0≤f(x)≤g(x), x I —сход. — сход.
0≤f(x)≤g(x), x I —расход. — расход.
Предельный Если 0 или ∞ ⇒ и сходятся или расходятся одновременно.
c= a для I=(a;b],
c= b для I=[a;b),
c=
c для
I=[a;c)
(c;b]
18. Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат. Примеры
Геометрический
смысл ОИ
—
SD
,
D=
D
1
ограничена
x
= a,
y
= b,
y
= f(x),
y
= g(x),
SD1
=
Если
f(x) ≤ g(x), x
[a;b] ⇒
SD1
=
19. Вычисление площадей плоских фигур в полярной системе координат. Примеры
Предположим, что рассматриваемый криволинейный сектор ограничен лучами:
d
S=
*
r2
* d
, тогда SD
=
Рассмотрим
кардиоиду r
= 1 + cos(
)
, 
— найти площадь фигуры, ограниченной
линией.
SD
=
2*
=
….
20. Длина дуги кривой. Примеры
Вычисление длины дуги L:
L:
x = x(t), y = y(t), t
Под длиной дуги понимается предел длин вписанных в эту дугу ломаных при наибольшем из длин звеньев ломаной стремящейся к нулю.
Мы будем рассматривать не любые дуги, а только те, которые обладают свойством спрямляемости, т.е. когда длина бесконечно малой дуги эквивалентна стягивающей длину хорде.
ΔS
, или отбрасывая бесконечно малую более
высокого порядка малости получаем:
dS=
(теорема Пифагора для дифференциалов).
Если x(t) и y(t) дифференцируемы, причем (dx/dt)2 + (dy/dt)2 ≠ 0 , то :
dS=
, dt 
0
SL=
, t0
< t1.
SL=
,
при
x = x, y=f(x)
—Длина дуги задана явно.
SL=
—
Кривая задана в полярных координатах