35. Основные свойства двойного интеграла

Можно заметить, что процесс построения интеграла в области D дословно повторяет уже знакомую нам процедуру определения инте­грала функции одной переменной на отрезке. Аналогичны и свойства этих интегралов и их доказательства. Поэтому перечислим основные свойства двойного интеграла, считая подынтегральные функ­ции интегрируемыми.

^{1.JJ с * f(x;y) dxdy =c* J J f(x;y) dxdy, с — const.}

D D

^{2. JJ(f}₁^(x;y)±f₂^{(x;y))dxdy = JJ f}₁^{(x;y)dxdy± JJ f}₂^(x;y)dxdy.

3. Если область D разбить линией на две обла­сти D1 и D2 такие, что D1 U D2= D, а пересече­ние D1 и D2 состоит лишь из линии, их разделяющей, то

^{JJ f(x;y)dxdy = JJ f(x;y)dxdy + JJ f(x;y)dxdy.}

^{D D1 D2}

4. Если в области D имеет место неравенство f(x; у) 0, то и JJ f(x;y)dxdy 0. Если в области D функции f(x;y) и φ(х;у) удовлетворяют неравенству f(x; у) φ (х; у), то и

JJ f(x;y)dxdy JJ φ(x;y)dxdy.

5. JJdS = S

6. Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то тS JJ f(x;y) dx dy MS, где ти М — соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области D.

7. Если функция f(x; у) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области существует такая точка (хо; уо), что

JJ f(x;y)dxdy = f(x₀;y₀)1* S. Величину

f(x₀;y₀)= *JJ f(x;y)dxdy

называют средним значением функции f(x;y) в области D.

36. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последо­вательному вычислению двух определенных интегралов.

П усть требуется вычислить двойной интеграл JJ f(x; у) dx dy, где функция f(x;y) 0 непрерывна в области D. Тогда, двойной интеграл выражает объем цилиндрическо­го тела, ограниченного сверху поверхностью г = f(x;y). Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Было показано, что V= . где S(x) — площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, а х = а, х = b — уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело. Положим сначала, что область D представляет собой криволиней­ную трапецию, ограниченную прямыми х = а и х = b и кривыми у = φ₁(x) и у = φ₂(х), причем функции φ₁(x) и φ₂(х) непрерывны и таковы, что φ₁(x) φ₂(х) для всех х € [а;b]. Такая область называется правильной в направлении оси Оу: любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем в двух точках. Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендику­лярной оси Ох: х = const, где х € [а; b].

В сечении получим криволинейную трапецию ABCD, ограничен­ную линиями z = f(x;y), где х = const, z = 0, у = φ₁(x) и у = φ₂(х) (см. рис. 219).

Площадь S(x) этой трапеции находим с помощью определенного интеграла

S(x)= Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:

V= = ) dx С другой стороны объем цилиндриче­ского тела определяется как двойной интеграл от функции f(x; у) 0 по области D. Следовательно, V = JJ f(x;y)dx dy = ) dx Формула (53.7) представляет собой способ вычисления двойного инте-грала в декартовых координатах. Правую часть формулы (53.7) назы­вают двукратным (или повторным) интегралом от функции f(x; у) по области D. При этом J f(x; у) dy называется внутренним интегралом.

Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутрен­ний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл, т. е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от а до b.