78 Нормальный закон распределения. Правило «трех сигм».

А) Распределение СВ называется нормальным (или распределением Гаусса) с параметрами ( ),если плотность вероятности имеет вид .Параметры имеют смысл математического ожидания и среднего квадратичного отклонения СВ : . Для функция распределения выражается через функцию Лапласа следующим образом: ,а вероятность попадания в интервал вычисляется по формуле . В силу непрерывности СВ эта формула справедлива как со строгими, так и с нестрогими знаками неравенств.

Б)Вероятность того, что СВ отклонится от своего математического ожидания не более чем на , определяется соотношением . Это свойство носит название правила трех сигм : если СВ , то попадание ее в заданный интервал является практически достоверным событием.

79 Схема Бернулли. Предельные теоремы: Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Последовательность n независимых в совокупности испытаний называется схемой Бернулли, если при каждом испытании возможны только два исхода: появление события А(успех) и его непоявление (неуспех),причем вероятность появления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна p.

В схеме Бернулли вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит ровно m раз, вычисляется по формуле Бернулли: ,где q=1-p, , . Если в схеме Бернулли вероятность p появления события А в каждом из n независимых испытаний очень мала (p<0.1), а число испытаний n достаточно велико, то вероятность вычисляется приближенно по формуле Пуассона: ,a=n*p. (Эту формулу обычно применяют в тех случаях, когда ) Если в схеме Бернулли вероятность p появления события А в каждом из n испытаний существенно отличается от 0 и 1, а число испытаний n достаточно велико, то для вычисления вероятности применяют приближенную локальную формулу Муавра-Лапласа: ,где ­­­­– функция Гаусса, , причем . Если в схеме Бернулли вероятность p существенно отличается от 0 и 1, а n достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит не менее m₁ раз, но менее m₂ раз, вычисляется по интегральной формуле Муавра-Лапласа: , где – функция Лапласа, , причем , (Формулы Муавра-Лапласа, как правило, используются, если 0,1<p<0,9, и дают хорошие результаты, если велико (можно считать )).

80. Понятие о двумерной случайной величине (ξ,η).Распределение случайных величин ξ и ηв отдельности Двумерная случайная величина задается в виде интегральной функции: F(x, у) = Р(Х < х, Y < y), которая означает вероятность того, что случайная величина примет значения меньше Х и меньше Y одновременно. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины можно представить в виде таблицы, где ƒ(x_i, y_j) совместная плотность распределения двумерной случайной величины :

xi \ yj	y1	y2	…	ym
x1	ƒ(x1, y1)	ƒ(x1, y2)	…	ƒ(x1, ym)	p(x1)
x2	ƒ(x2, y1)	ƒ(x2, y2)	…	ƒ(x2, ym)	p(x2)
…	…	…	…	…	…
xn	ƒ(xn, y1)	ƒ(xn, y2)	…	ƒ(xn, ym)	p(xn)
	q(y1)	q(y2)	…	q(ym)	1

Если случайные величины х и у независимы, то

ƒ(x, y) = p(x) q(y),

где p(x) - безусловная плотность распределения случайной величины x, q(y) - безусловная плотность распределения случайной величины y.

, 

Условным распределением случайной величины x при заданном значении Y = y_j называют

Условным распределением случайной величины y при заданном значении X = x_i называют

81.Функцией распределения двумерной случайной величины (X,Y)называется функция F (x,y),которая для любых действительных чисел x и y равна вероятности совместного выполнения двух событий {X<x} и {Y<y}: F(x,y)=P{X<x,Y<y} (событие {X<x,Y<y} означает произведение {X<x} и {Y<y}).

Геометрически функция  F(x,y) интерпретируется как вероятность попадания случайной точки (X,Y) в бесконечный квадрат с вершиной в точке (x,y),лежащей левее и ниже её.

Функция распределения двумерной дискретной случайной величины (X,Y) находится суммированием всех вероятностей p_ij,для которых x_i<x,y_i<y,т. е.

Свойства функции распределения двумерной СВ:

1.Функция распределения F(x,y) ограничена, т. е. 0≤ F(x,y) ≤1.

2. F(x,y) не убывает по каждому из своих аргументов при фиксированном другом, т. е.

F(x₂,y)≥ F(x₁,y) при x₂ >x₁

F(x,y₂)≥ F(x,y₁) при y₂ >y₁

3.Если хотя бы один из аргументов обращается в ,то функция распределения F(x,y) равна нулю, т. е. F(x,- )= F(- ,y)= F(- ,- )=0

4.Если оба аргумента обращаются в , то F(x,y) равна 1,т. е. F(+ ,+ )=1

5.Если один из аргументов обращается в + , то функция распределения системы СВ становится функцией распределения СВ, соответствующий другому элементу, т.е. F(x,+ )= F₁(x)= F_X(x),

F(+ )= F₂(y)= F_Y(y)

6. F(x,y) непрерывна слева по каждому из своих аргументов, т. е.