69. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Если событие А может наступить при появлении одного из n попарно несовместных событий (гипотез) Н1, Н2,…Нn, образующих полную группу событий, то вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности :
Р(А)=Р(Н1)Р(А|Н1)+Р(Н2)P(А|Н2)+…+Р(Нn)Р(А|Нn).
Вероятность события А равна сумме произведений условных вероятностей этого события по каждой из гипотез на вероятность самих гипотез.
Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть пересчитаны по формуле Байеса: если вероятности гипотез до опыта были Р(Н), Р(Н),…,Р(Н), а в результате опыта появилось событие А, то условная вероятность Р(НА) гипотезы Н пи условии осуществления события А вычисляется по формуле:
70. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Следствия из аксиом.
Аксиома 1. Каждому случайному событию А поставлено в соответствие неотрицательное число P (A) , называемое его вероятностью и удовлетворяющее условию 0<= P (A) <=1
Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна 1. P (A) =1
Аксиома 3. Если события A1, A2,...,An попарно несовместимы, то P(A1 + A2 +...+ An) = P(A1) + P(A2) +...+ P(An).
Следствия из аксиом :
1.Вероятность
невозможного события равна нулю: P(
)
= 0.
2. Для любого события А: P( А’ ) = 1 - P(A). Где А’ - противоположное
3. Каково бы ни было случайное событие А, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
4. Если событие А влечет за собой событие В, то P(A) ≤ P(B).
71. Дискретные случайные величины и способы их задания. Биномиальное, геометрическое и распределение Пуассона.
Величина, принимающая в результате испытания (опыта) числовое значение, называется случайной величиной. СВ Х называется дискретной, если существует конечное и счетное множество S=х1, х2,… такое, что Р(ХS)=1. Числа х1, х2,…называются возможными значениями СВ Х.
Для того чтобы задать дискретную СВ ξ, достаточно перечислить все её возможные значения и указать, с какими вероятностями она их принимает. Тогда закон распределения удобно задать в виде таблицы, в которой перечислены все возможные значения х1, х2, …,хm,… СВ ξ и соответствующие им вероятности рm=Р(ξ=х),=1,2,…
ξ |
х1 |
x2 |
… |
хm |
… |
P |
p1 |
p2 |
… |
pm |
… |
Эта таблица называется рядом распределения дискретной СВ.( рm>=0,р1+р2+…+рm+…=1)
СВ
ξ имеет биномиальное
распределение
с параметрами n
и p,
если она принимает значения 0,1,2,…n
с вероятностями Р(ξ=m)=
,
m=0,1,2,…,n,
где 0<p<1,
q=1-p
Биномиальный закон распределения имеет место в том случае, когда СВ ξ выражает число появлений события А( число успехов) при n независимых испытаниях, проводимых по схеме Бернулли.
Математическое ожидание и дисперсия СВ ξ, распределённой по биномиальному закону, вычисляются по формулам: М ξ=np , D ξ=npq
Дискретная СВ ξ имеет распределение Пуассона с параметром а, если она принимает значения 0,1,2,…m,… с вероятностями
, m=0,1,2,…m,…
Математическое ожидание и дисперсия СВ, распределённой по закону Пуассона, равны между собой и равны параметру а, т.е. Мξ=Dξ=a.
Геометрическим распределением с параметром р называется распределение числа испытаний до первого успеха в серии независимых испытаний с вероятностью успеха в каждом испытании. Оно имеет вид бесконечной таблицы:
ξ |
1 |
2 |
… |
k |
… |
Р |
p |
qp |
… |
qk-1 p |
… |
Для дискретной случайной величины, распределенной по геометрическому закону, Mξ =1/p, D ξ =q/p2.