- •Оглавление
- •Уравнение Лапласа и Пуассона.
- •Физический смысл стационарной задачи
- •Примеры
- •Понятие о потенциалах
- •Постановка задач
- •Первая и вторая формулы Грина с оператором , следствия.
- •Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства.
- •Примеры
- •Свойства гармонических функций.
- •Теорема о среднем для гармонических функций
- •Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.
- •Следствия:
- •Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.
- •Функция Грина для задачи с уравнением , понятия, определения.
- •Решение задач с её помощью
- •Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
- •Теория потенциалов, определение, основные свойства.
- •Объёмный потенциал
- •Потенциал простого слоя
- •Потенциал двойного слоя
- •Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов
- •Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах:
- •Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры.
- •Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи.
- •Уравнение Бесселя.
- •Особенность, построение ограниченного решения .
- •Общее решение, , , , понятие о функциях .
- •Асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.
- •Краевая задача на собственные значения: , её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д.
- •Модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции .
- •Сводная таблица.
- •Краевая задача с двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора .
- •Уравнение гипергеометрического типа.
- •Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте).
- •Решение в виде полиномов. Формула Родрига.
- •Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.
- •Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов
- •Полиномы Лежандра.
- •Полиномы Чебышева-Лягера.
- •Чебышева-Эрмита.
- •Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
- •Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства.
- •Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.
- •Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.
Асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.
Функции Бесселя (любые решения уравнения Бесселя) имеют особенность в нуле. Решение уравнения Бесселя при имеет следующий вид: . Докажем это.
Для этого сделаем замену: , подставим , первые производные ушли, осталось: . Таким образом: , будем искать в виде: . Надо найти две функции: и .
положим , получим . Тогда , подставим в уравнение: , т.о. получили систему: . Получили систему, разрешённую относительно производных, но не нелинейную. Оценим. Проинтегрируем и запишем для первого и второго уравнений:
. При больших значениях , и имеют вид констант.
Получим вид : и : .
Тогда - общая формула для любой цилиндрической функции.
Асимптотики функций Бесселя и Неймана:
Краевая задача на собственные значения: , её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д.
Рассмотрим краевую задачу на собственные значения. на отрезке , или: , отличается от уравнения Бесселя наличием параметра .
Первое решение: - тождественный ноль, а задача Штурма-Лиувилля – это задача на собственные функции и собственные значения - заключается в нахождении таких значений , при которых существует нетривиальное решение.
Сделаем замену: , ( ) , его общее решение , константы находим из начального условия. Из ограниченности находим, что , из второго условия находим что: - это уравнение для определения . У бесконечно много нулей: и , тогда можно написать, что . Тогда собственные значения - их бесконечно много, и соответственно собственные функции .
Все собственные значения действительны и положительны. Это следует из самосопряженности оператора . Убедимся в его самосопряженности. Напишем формулу Грина
, - т.е. оператор самосопряжённый. Это значит, что все собственные значения действительны и положительны, т.к. и .
Все собственные функции, отвечающие разным собственным значениям ортогональны с весом :
Теорема Фурье-Бесселя (о полноте)
Любая функция , которая на отрезке допускает дифференцирование и удовлетворяет граничным условиям: , разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по функциям Бесселя: . Коэффициенты находятся интегрированием, т.к. это разложение по ортогональному базису. .
В задаче на собственные функции и собственные значения всё будет аналогично, если вместо краевого условие первого рода мы возьмём , тогда - будут корнями уравнения: .
Модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции .
Рассмотрим уравнение: , оно отличается знаком перед . Сделаем замену , тогда подставим и получим уравнение: , получили уравнение Бесселя. Его ограниченное решение: - модифицированная функция Бесселя.
В качестве С возьмем , тогда . Он отличается знакопостоянством. Рассмотрим его асимптотику: . Модифицированная функция заведомо не имеет нулей (только на мнимой оси), т.к. все слагаемые положительные. Напишем базис. Первая базисная функция - , вторая базисная функция - - функция Макдональда. - действительна для действительных . Её асимптотика , тогда общее решение можно записать так: . Из линейной независимости и следует, что в точке имеет полюс -го порядка.