- •Оглавление
- •Уравнение Лапласа и Пуассона.
- •Физический смысл стационарной задачи
- •Примеры
- •Понятие о потенциалах
- •Постановка задач
- •Первая и вторая формулы Грина с оператором , следствия.
- •Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства.
- •Примеры
- •Свойства гармонических функций.
- •Теорема о среднем для гармонических функций
- •Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.
- •Следствия:
- •Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.
- •Функция Грина для задачи с уравнением , понятия, определения.
- •Решение задач с её помощью
- •Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
- •Теория потенциалов, определение, основные свойства.
- •Объёмный потенциал
- •Потенциал простого слоя
- •Потенциал двойного слоя
- •Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов
- •Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах:
- •Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры.
- •Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи.
- •Уравнение Бесселя.
- •Особенность, построение ограниченного решения .
- •Общее решение, , , , понятие о функциях .
- •Асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.
- •Краевая задача на собственные значения: , её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д.
- •Модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции .
- •Сводная таблица.
- •Краевая задача с двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора .
- •Уравнение гипергеометрического типа.
- •Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте).
- •Решение в виде полиномов. Формула Родрига.
- •Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.
- •Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов
- •Полиномы Лежандра.
- •Полиномы Чебышева-Лягера.
- •Чебышева-Эрмита.
- •Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
- •Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства.
- •Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.
- •Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.
Уравнение Бесселя.
Рассмотрим уравнение вида: - уравнение Бесселя. Это уравнение для цилиндрических функций – его решения – цилиндрические функции. Рассмотрим лапласиан в цилиндрических координатах, и : - возникает в связи с решением уравнения Лапласа в цилиндрических координатах.
Решением этого уравнения (1-ым базисным решнием) является функция Бесселя первого рада: .
Рассмотрим некоторые её свойства.
Рекуррентные соотношения.
Функции Бесселя с полуцелыми номерами . Вычислим .
Для этого выполним преобразования:
, подставим , но , тогда .
Таким образом, мы получили следующие значения: , используя рекуррентные соотношения можно получить остальные значения полуцелых индексов.
Нули функции Бесселя.
|
1. Они есть и их бесконечно много, следует из асимптотики: . 2. Все нули, кроме , простые, изолированные. 3. Все нули действительные, положительные. 4. и не имеют общих нулей (см. рисунок). 5. При возрастании корень смещается, , - корни функции Бесселя.
|
Особенность, построение ограниченного решения .
Будем искать решение уравнения Бесселя в виде ряда Тейлора, умноженного на : . Подставим это решение в уравнение , , найдём коэффициенты и выберем ограниченное решение.
Подставив решение в уравнение, сравниваем коэффициенты при разных степенях:
При : При : При : При : |
|
Пусть . Таким образом : . Вычислим коэффициент , и выразим его через .
, коэффициент выбираем произвольно: , где .
Таким образом, получили коэффициенты ряда: , т.к. .
Запишем формальный ряд: , если , тогда решение ограничено. Оно решение, т.к. ряд сходится для любых по признаку Даламбера: , сходится при всех , радиус сходимости равен бесконечности. Таким образом, мы получили единственное, с точность до множителя решение: - функция Бесселя первого рода – это первое базисное решение.
Случай рассмотрен в следующем пункте.
Общее решение, , , , понятие о функциях .
Будем искать решение уравнения Бесселя в виде ряда Тейлора, умноженного на : . Подставим это решение в уравнение , , найдём коэффициенты и выберем ограниченное решение.
Подставив решение в уравнение, сравниваем коэффициенты при разных степенях:
При : При : При : При : |
|
Пусть : тогда уравнение решение Бесселя будет: , где - любое нецелое число. Это неограниченное решение значит, оно может выступать в роли второго базисного, но только в случае не целого значения .
Пусть - целое число, тогда при . сменим индекс: , получили соотношение: , то есть решения стали линейно зависимыми..
В качестве второго линейно независимого решения уравнения Бесселя можно взять функцию, построенную следующим образом: - это функция Неймана.
Её асимптотика . Оно тоже может играть роль базисного уравнения.
Могут быть и другие линейно-независимые комбинации (базисные решения):
- функции Ханкеля, их асимптотика .
Т.о. общее решение уравнения Бесселя имеет вид (линейная комбинация 2-х базисных решений):