Функция Грина для задачи с уравнением , понятия, определения.
-
гармоническая везде, кроме точки
,
в ней она имеет особенность. Рассмотрим
более обобщённый случай.
- краевая задача – общий вид – с
эллиптическим уравнением.
Функцией
Грина будем называть решение следующей
задачи: (4’)
.
Решение задач с её помощью
Пусть
- решение задачи (1’), а
,
воспользуемся второй формулой Грина,
её можно применять для
:
.
Перепишем эту формулу для нашего случая:
.
Рассмотрим последний интеграл отдельно для всех трёх типов краевых задач: |
|
т.о.
можно написать, что:
- решение (1’) с учётом краевых условий.
Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
в
одномерном случае (
:
|
|
)
задача (4’) будет иметь вид:
,
её решение – функция Грина:
Рассмотрим
интервал
Выбираем
решение
уравнения
,
удовлетворяющее граничному условию
при
.
Этих решений много. Общее решение:
,
где
,
- есть функция
.
Это решение существует везде на отрезке
,
оно может быть использовано для построения
функции Грина.
Рассмотрим
интервал
.
Пусть
тогда
-
решение уравнения
,
удовлетворяющее граничному условию
при
,
Этих решений много. Общее решение:
,
где
,
-
есть функция
.
|
Склеим
эти два куска так, чтобы в точке
выполнялось (*). Там есть две производных,
и при любом разрыве будет бесконечность.
Возьмем окрестность точки
размера δ и проинтегрируем левую часть
(*):
|
.
Интегрируем:
,
пусть
,
тогда
,
т.о. т.о. получили уравнение, связывающее
две неопределённые константы. Второе
уравнение можно получить, приравняв
два решения в точке разрыва:
.
Имеем систему однородных линейных
уравнений для нахождения
и
:
,
решаем:
,
где определитель Вронского:
,
мы можем построить не бесконечную и
непрерывную функцию Грина.
Из
теории ОДУ знаем, что
,
докажем:
,
чтд.
Сделаем
эту постоянную
выбором
и
.
,
и тогда функция Грина:
|
|
.
Излом первой производной соответствует
-функции.
-
линейные функции.с) Функция Грина симметрична по своим аргументам G(P,Q) = G(Q,P)
Теория потенциалов, определение, основные свойства.
Пусть
в точке
расположен заряд величины
,
тогда в любой точке
пространства
будет создаваться поле, потенциал
которого:
.
Для системы зарядов, потенциал имеет
вид:
.
|
Диполь:
Пусть в точках
|
и
расположены заряды, величиной –e
и +e.
- момент диполя, будем сближать точки
и
,
сохраняя величину
(увеличивая e),
то в пределе при
получим точечный диполь, расположенный
в точке Q,
потенциал которого равен:
.
Рассмотрим
интеграл:
,
-
интегрируема (непрерывна) везде, кроме
,
если
.
Рассмотрим его сходимость и непрерывность.
Определение:
будем говорить, что это интеграл сходиться
равномерно в окрестности точки
,
если для любого
существует
такое
,
(
),
что для любой точки
,
(
-
окрестность т.
,
)
выполняется :
.
Теорема:
если
сходится
равномерно в окрестности точки
,
то
существует
и непрерывна в точке
.
Доказательство:
разобьём
на
2 функции:
,
рассмотрим разность:
(она мала, если
и
близки).
Докажем
более подробно. Поскольку
сходится в окрестности
,
то берём
и
выбираем такое
,
что
и
,
тогда выполняется
и
.
Так как
,
то интеграл
не является не собственным, и
непрерывна
в точке
.
Значит, для того же
существует такое
,
что
выполняется
.
Пусть
,
тогда
выполняется
,
и
,
а следовательно и
.
Чтд.
Замечание: из равномерной сходимости следует сходимость интеграла.
При определении интеграла предполагалось, что промежуток интегрирования конечен и подынтегральная функция определена и непрерывна на этом промежутке. Такой интеграл называется собственным. Если нарушается хотя бы одно из этих условий, то интеграл называется несобственным.