- •Оглавление
- •Уравнение Лапласа и Пуассона.
- •Физический смысл стационарной задачи
- •Примеры
- •Понятие о потенциалах
- •Постановка задач
- •Первая и вторая формулы Грина с оператором , следствия.
- •Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства.
- •Примеры
- •Свойства гармонических функций.
- •Теорема о среднем для гармонических функций
- •Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.
- •Следствия:
- •Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.
- •Функция Грина для задачи с уравнением , понятия, определения.
- •Решение задач с её помощью
- •Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
- •Теория потенциалов, определение, основные свойства.
- •Объёмный потенциал
- •Потенциал простого слоя
- •Потенциал двойного слоя
- •Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов
- •Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах:
- •Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры.
- •Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи.
- •Уравнение Бесселя.
- •Особенность, построение ограниченного решения .
- •Общее решение, , , , понятие о функциях .
- •Асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.
- •Краевая задача на собственные значения: , её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д.
- •Модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции .
- •Сводная таблица.
- •Краевая задача с двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора .
- •Уравнение гипергеометрического типа.
- •Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте).
- •Решение в виде полиномов. Формула Родрига.
- •Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.
- •Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов
- •Полиномы Лежандра.
- •Полиномы Чебышева-Лягера.
- •Чебышева-Эрмита.
- •Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
- •Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства.
- •Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.
- •Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.
Физический смысл стационарной задачи
Уравнение вида: или - называется уравнением Лапласа. Оно описывает стационарный процесс с установившимся распределением температуры сплошной среды. Описывает любые установившиеся процессы. При наличии источников тепла получаем уравнение: - неоднородное уравнение Лапласа – уравнение Пуассона.
Примеры
Уравнение теплопроводности: - описывает распределение температуры в сплошной среде. Если это распределение не зависит от времени, то уравнение теплопроводности примет вид: . Аналогично для колебаний.
Понятие о потенциалах
Заряд в точке Q создаёт поле, которое описывается потенциалом , а этот потенциал , r – расстояние от точки Q до некоторой точки р. Величина удовлетворяет уравнению Лапласа для всех :
.
То же самое можно сказать о потенциале системы зарядов - это есть сумма потенциалов отдельных зарядов.
Постановка задач
Постановка задачи (можно поставить задачу для разного числа переменных) состоит из составления уравнения и определения области изменения переменных.
Начальных условий здесь не будет, т.к. задача стационарная, а граничные условия не будут зависеть от времени:
Пишем уравнение:
Задаём область: пусть некоторая область D ограничена контуром Г, p – внутренние точки области D: .
Задаём краевые условия: (линейное краевое условие).
Первая краевая задача: - температура на границе
Вторая краевая задача: - поток тепла через границу
Третья краевая задача:
Первая и вторая формулы Грина с оператором , следствия.
Пусть функции u,v дважды непрерывно дифференцируемы. Введём скалярное произведение: .
Формулы Грина:
1. Применим к u оператор L и перемножим скалярно с v: . Выведем эту формулу. Распишем скалярное произведение: . Рассмотрим отдельно первое слагаемое: . Для того чтобы воспользоваться формулой Гаусса - Остроградского преобразуем это выражение следующим образом - внесём под знак дивергенции так: , тогда теперь применим формулу Гаусса - Остроградского . Тогда наше скалярное произведение перепишется следующим образом: - первая формула Грина.
2. . – вторая формула Грина.
Теорема о единственности краевых задач:
Задача имеет единственное решение, если задача: имеет лишь тривиальное решение . |
Доказательство: Воспользуемся первой формулой Грина: , где , ,
Рассмотрим все три типа краевых задач:
Первая краевая задача: + = 0 – т.е. сумма 2-х положительных величин, она равняется нулю тогда, когда =0 , и в силу получаем, что , ч.т.д.
Третья краевая задача: из условия теоремы следует, что т.е. получаем сумму 3-х положительных величин, она равняется нулю тогда, когда .
Вторая краевая задача:
Рассмотрим два случая:
1) любая является решением - нет единственности. В качестве примера может служить следующая задача: , ч.т.д. |
2) является единственным решением.
|
Физический смысл соотношений, получаемых с помощью формул Грина.
Рассмотрим задачу и , u – решение ,
И пусть =1:
Используя 1-ую формулу Грина получаем ( , =1) т.е. если решение рассмотренной задачи существует, то для f и g выполняется условие , и решение не существует, если оно не выполняется. Это соотношение имеет физический смысл Тепло, выделяющееся источником внутри области, равно теплу, выходящему из области через границу в единицу времени.