9. Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах:

Потенциал	Объёмный потенциал	Потенциал простого слоя	Потенциал двойного слоя
Физическая интерпретация	Объём непрерывно заряжен с плотность	В объёме Д находится заряженный непрерывно с плотность лист площади S	В объёме Д находятся два непрерывно зараженных с плотность момента диполей листа, сближенных по нормали:
Вид потенциала
	Если , то это обычные интегралы, зависящие от параметра, подынтегральное выражение нигде не обращается в бесконечность: - u гармоническая функция везде.
	Если , ρ – конечно,
	существует и непрерывен (интеграл сходиться)	существует и непрерывен	существует, но может быть разрывна.
Первые производные:	существуют и непрерывны	- величины разрыва (производная рвётся)	Говорить о них нельзя
Дополнительно:	Вторые производные: - объёмный потенциал удовлетворяет этому соотношению в области .		Если поверхность S замкнута, и нормаль направлена внутрь, то можно указать величину разрыва:
В 2D случае всё аналогично, нужно сделать лишь следующие замены:

9. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры.

Корректность - непрерывная зависимость решения от дополнительных условий в любой конечной точке области, т.е. если имеем уравнение и два условия , причём (отличные на малую величину), то и (тоже мало отличаются).

Пусть , - гармоническая функция, тогда: , тогда по теореме о максимумах и минимумах везде в области D верно: то есть малому изменению граничных условий отвечает малое изменение решений. Задача Дирихле корректна.

Пример некорректной задачи: - уравнение Лапласа. Рассмотрим задачу Коши: .

Рассмотрим два типа начальных условий: . Эти граничные условия мало отличаются при . Но решения не будут близкими при этом: , т.к. . Таким образом, решения будут существенно различны.

10. Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи.

Теория специальных функция – это теория следующих уравнений: (*) - линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Пусть функция , т.е. - нуль первого порядка. Решение (*) всегда: . Рассмотрим решение в окрестности особой точки, в которой обращается в ноль.

Теорема. Если уравнение имеет ограниченное в точке решение , то все остальные решения (линейно независимые) не ограничены: . То есть существует одно ограниченное решение.

Доказательство: Из теории ОДУ знаем, что , - Вронскиан двух решений. Докажем: , тогда , чтд.

У нас ограничено, а - нет. Рассмотрим следующую величину: . Проинтегрируем эту величину: , , следовательно, этот интеграл расходится при , а это значит, что , чтд.

Уточним теорему: рассмотрим два случая.

1. в окрестности точки , ~ , т.е. как логарифм.

2. ~ ~ - полюс порядка .

Проанализируем получившееся решение:

Если требуется ограниченное решение в особой точке, то , т.к. . Так как полное решение (*) всегда является суммой двух решений: ограниченного и неограниченного, то ограниченность этого первого решения уже есть само по себе граничное условие.