- •Оглавление
- •Уравнение Лапласа и Пуассона.
- •Физический смысл стационарной задачи
- •Примеры
- •Понятие о потенциалах
- •Постановка задач
- •Первая и вторая формулы Грина с оператором , следствия.
- •Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства.
- •Примеры
- •Свойства гармонических функций.
- •Теорема о среднем для гармонических функций
- •Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.
- •Следствия:
- •Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.
- •Функция Грина для задачи с уравнением , понятия, определения.
- •Решение задач с её помощью
- •Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
- •Теория потенциалов, определение, основные свойства.
- •Объёмный потенциал
- •Потенциал простого слоя
- •Потенциал двойного слоя
- •Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов
- •Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах:
- •Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры.
- •Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи.
- •Уравнение Бесселя.
- •Особенность, построение ограниченного решения .
- •Общее решение, , , , понятие о функциях .
- •Асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.
- •Краевая задача на собственные значения: , её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д.
- •Модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции .
- •Сводная таблица.
- •Краевая задача с двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора .
- •Уравнение гипергеометрического типа.
- •Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте).
- •Решение в виде полиномов. Формула Родрига.
- •Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.
- •Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов
- •Полиномы Лежандра.
- •Полиномы Чебышева-Лягера.
- •Чебышева-Эрмита.
- •Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
- •Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства.
- •Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.
- •Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.
Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
|
Лежандр |
Чебышев - Лягер |
Чебышев - Эрмит |
|||
Вид уравнения
|
|
|
|
|||
Упрощенное уравнение |
|
|
|
|||
Собственные решения: |
|
|
|
|||
Собственные функции |
|
|
|
|||
Рекуррентные соотношения: |
|
|
|
|||
Производящие функции:
|
|
|
|
|||
Ортогональность и норма: |
|
|
|
|||
Упрощенное уравнение гипергеометрического вида: |
|
|||||
его самосопряжённый вид |
|
|||||
Произвольное решение уравнения гипергеометрического вида тоже является решением другого уравнения гипергеометрического вида: |
Пусть: |
|||||
Собственные решения: |
|
|||||
Собственные функции (Формула Родрига): |
|
|||||
Ортогональность: |
|
|||||
Присоединённые уравнение Лежандра:
|
Присоединённые функции: , |
Норма присоединённых функций:
|
Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства.
Рассмотрим задачу: найти собственные значения и собственные функции уравнения (1) при условии ограниченности (2) . Ищем решение в виде: . Подставим в уравнение: . Это же уравнение получается для производной решения уравнения Лежандра : , если его продифференцировать раз. Нетривиальное ограниченное решение уравнения Лежандра существует лишь при , где - целое положительное число. Отсюда следует, что есть решение уравнения (2), а функция - есть собственная функция задачи (1), соответствующая собственному значению . - присоединённая функция Лежандра -го порядка.
Свойства.
1) Норма присоединённых функций: .
2) Любая функция , непрерывная на отрезке и обращающаяся в нуль на его концах при и , может быть равномерно аппроксимирована с любой степенью точности линейной комбинацией из присоединённых функций любого порядка .
Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.
Запишем оператор Лапласа в сферических координатах:
: .
Решим уравнение Лапласа (1) методом разделения переменных. Ищем решение в виде: , подставим: (2) . Запишем задачу для (функции не имеют особенности и определены на сфере).: (3) Задача: найти значения , при которых задача (3) имеет нетривиальное решение. Сферическими функциями называются любые нетривиальные решения задачи (3). Будем решать задачу (3) методом разделения переменных. Пусть , подставляем, домножив на , получаем: , получаем две задачи: и (5) .
Решаем (4). или (тоже самое) , для того чтобы выполнялась периодичность должно быть целым: . Тогда .
Решаем (5). Сделаем замену: , учтем что тогда . Делим (5) на : , получили уравнение для присоединённых полиномов Лежандра. Тогда .
П
m
|
- полный набор базисных сферических функций. Каждому соответствует и базисных функций.
|
Перейдём к решению задачи для : . Ищем решение в виде: , подставляем: - шаровый функции,
тогда , - решение уравнения Лапласа в сферических координатах.