16. Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.

Эти полиномы ортогональны с весом на отрезке : . Где точки и это: 1) если - полином второго порядка, то и - это нули полинома , т.е. ; либо 2) если - полином первого порядка, то : и ; либо 3) если - полином нулевого порядка, т.е. , то и . Решения либо ограничены в особых точках, либо растут не быстрее полинома на бесконечности. Ортогональность следует из самосопряженности оператора , т.к. [ ].

Докажем. Запишем вторую формулу Грина: .

Теорема: Если - нормальная система полиномов на , то все нули принадлежат и они действительные и простые (значит, на происходит смен знаков (корни не кратные), ортогональность означает осцилляцию со сменой знака полное число раз).

Доказательство. Пусть теорема не верна.

Пусть имеет перемен знака: . Следовательно, если теорема не верна, то . Рассмотрим , т.к. система нормальная, то образует базис. Тогда - полином степени - это нормальная система. Рассмотрим (нормировка)

	т.к. это интеграл от знакопостоянной функции.

Таким образом, получили противоречие, значит . Чтд.

14. Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов

1. Полиномы Лежандра.

1) Определим многочлены Лежандра так: разложим в ряд по степеням функцию: .

Коэффициенты этого разложения являются многочленами, называемыми полиномами Лежандра. - называется производящей функцией полиномов Лежандра.

2) Краевая задача: найти такие значения , для которых на отрезке существуют не тривиальные решения уравнения Лежандра , ограниченные при .

Функция - есть собственная функция задачи, соответствующая собственному значению .

Упрощённое уравнение Лежандра:

3) Рекуррентные соотношения:

4) Ортогональность и норма полиномов Лежандра: , полиномы Лежандра разных порядков ортогональны между собой; второе линейно независимое решение уравнения Лежандра при обращается в бесконечность при как .

5) Все нули полиномов Лежандра простые и расположены на интервале .

6) Ограниченность: полиномы Лежандра равномерно ограниченны для всех значений аргумента .

17. Полиномы Чебышева-Лягера.

1) Определим полиномы Чебышева-Лягера так: разложим в ряд по степеням функцию: .

Коэффициенты этого разложения являются многочленами, называемыми полиномами Чебышева-Лягера. - называется производящей функцией полиномов Чебышева-Лягера.

2) Краевая задача: найти такие значения , для которых в области существуют не тривиальные решения уравнения Чебышева-Лягера , ограниченные при и возрастающие при не быстрее чем конечная степень

Функция - есть собственная функция задачи, соответствующая собственному значению .

Упрощённое уравнение Чебышева-Лягера:

3) Рекуррентные соотношения:

4) Ортогональность и норма полиномов Чебышева-Лягера: :, полиномы Чебышева-Лягера разных порядков ортогональны между собой с весом .

18. Чебышева-Эрмита.

1) Определим полиномы Чебышева-Эрмита так: разложим в ряд по степеням функцию: .

Коэффициенты этого разложения являются многочленами, называемыми полиномами Лежандра. - называется производящей функцией полиномов Чебышева-Эрмита.

2) Краевая задача: найти такие значения , для которых на существуют не тривиальные решения уравнения Чебышева-Эрмита , возрастающее при не быстрее чем конечная степень

Функция - есть собственная функция задачи, соответствующая собственному значению .

Упрощённое уравнение Чебышева-Эрмита:

3) Рекуррентные соотношения: ;

4) Ортогональность и норма полиномов Чебышева-Эрмита: , полиномы Чебышева-Эрмита разных порядков ортогональны на с весом между собой.