1. Объёмный потенциал

Потенциал поля, созданного зарядами, распределёнными в области с плотностью , равен и называется объёмным потенциалом.

Свойство 1. Объёмный потенциал определён и непрерывен всюду.

Если , то интеграл не является не собственным. Поскольку подынтегральная функция, как функция , непрерывна в точке , то непрерывен в этой точке и интеграл .

Если , то, согласно теореме и замечанию, достаточно доказать равномерную сходимость, интеграла в окрестности точки . Для этого оценим интеграл: , мы увеличили область, поместив всё в шар , радиуса . Перейдём в последнем интеграле к сферическим координатам и получим тогда: , чтобы интеграл был меньше заданного , достаточно взять .

Свойство 2. Объёмный потенциал имеет всюду непрерывные частные производные первого порядка по координатам точки .

Если , то интеграл не является не собственным. Поскольку подынтегральная функция, как функция точки , имеет в точке непрерывные частные производные первого порядка по координатам точки , то этим свойством обладает и интеграл , причём производные вычисляются путём дифференцирования под знаком интеграла: , , - (1), где - координаты точки .

Если , то, согласно теореме и замечанию, достаточно доказать равномерную сходимость в окрестностях точки интегралов от производных в правых частях формул. Тогда законно дифференцирование под знаком интеграла, причём для производных , и справедливы формулы (1). Для определённости рассмотрим интеграл: . Оценим его: , т.к. .

Далее, , достаточно взять для того, чтобы выполнялось неравенство .

Свойство 3. Объёмный потенциал является гармонической функцией вне области , в которой расположены заряды (массы). Это свойство следует из того, что для точек интеграл не является не собственным, и поэтому оператор Лапласа можно вносить под знак интеграла:

, т.к. для точек (а точнее P≠Q) имеем .

Свойство 4. в точках области объёмный потенциал удовлетворяет соотношению: , т.к. , .

Вторые производные рвутся.

Свойство 5. При стремлении точки наблюдения к бесконечности объёмный потенциал стремится к нулю ( - огр.).

Применим теорему о среднем: , где - суммарный заряд. Т.о. .

6. Потенциал простого слоя

Потенциал поля, созданного зарядами, распределёнными по поверхности с плотностью , равен и называется потенциалом простого слоя.

Свойство 1. Потенциал простого слоя определён всюду.

Если (не принадлежит несущей поверхности ), это очевидно, т.к. имеет конечное значение для любых р.

Если , то интеграл является несобственным по двумерной области . Из математического анализа известно, что несобственный интеграл по двумерной области абсолютно сходится, если , в нашем случае , следовательно, интеграл сходится.

Свойство 2. Потенциал простого слоя и непрерывен всюду.

Если , то интеграл не является не собственным, и его непрерывность следует из непрерывности подынтегральной функции .

Если , то, согласно теореме и замечанию, достаточно доказать равномерную сходимость, интеграла в окрестности точки . Для этого оценим интеграл по части поверхности , содержащей точку и имеющей диаметр меньший, чем . Пусть - произвольная точка, причем: . Пусть - проекция поверхности на плоскость , а круг на плоскости с центром в точке радиуса . Проекция на плоскость элемента поверхности равна: . Оценим:

вводим полярную систему координат с началом в точке , тогда легко вычислить последний интеграл, он равен: .

Достаточно взять для того, чтобы выполнялось неравенство .

Свойство 3. Потенциал простого слоя является гармонической функцией всюду, кроме точек несущей поверхности .

Это свойство очевидно, так как для точек интеграл не является несобственным и поэтому:

Свойство 4. нормальные производные потенциала простого слоя имеют разрыв первого рода в точках поверхности со скачком .

Свойство 5. если несущая поверхность ограничена, то потенциал простого слоя стремится к нулю, когда точка стремится к бесконечности.

Применим к интегралу теорему о среднем: , где - суммарный заряд.

Т.о.