- •Оглавление
- •Уравнение Лапласа и Пуассона.
- •Физический смысл стационарной задачи
- •Примеры
- •Понятие о потенциалах
- •Постановка задач
- •Первая и вторая формулы Грина с оператором , следствия.
- •Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства.
- •Примеры
- •Свойства гармонических функций.
- •Теорема о среднем для гармонических функций
- •Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.
- •Следствия:
- •Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.
- •Функция Грина для задачи с уравнением , понятия, определения.
- •Решение задач с её помощью
- •Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
- •Теория потенциалов, определение, основные свойства.
- •Объёмный потенциал
- •Потенциал простого слоя
- •Потенциал двойного слоя
- •Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов
- •Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах:
- •Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры.
- •Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи.
- •Уравнение Бесселя.
- •Особенность, построение ограниченного решения .
- •Общее решение, , , , понятие о функциях .
- •Асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.
- •Краевая задача на собственные значения: , её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д.
- •Модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции .
- •Сводная таблица.
- •Краевая задача с двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора .
- •Уравнение гипергеометрического типа.
- •Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте).
- •Решение в виде полиномов. Формула Родрига.
- •Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.
- •Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов
- •Полиномы Лежандра.
- •Полиномы Чебышева-Лягера.
- •Чебышева-Эрмита.
- •Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
- •Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства.
- •Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.
- •Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.
Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.
Сферическими функциями называются любые нетривиальные решения задачи .
Построим систему базисных функций, для этого решим задачу: найти значения , при которых задача имеет не тривиальное решение. Будем решать задачу методом разделения переменных. Пусть , подставляем, домножив на и получаем: , получаем две задачи: и (5) . Решаем (4). или (тоже самое) , для того чтобы выполнялась периодичность должно быть целым: . Тогда . Решаем (5). Сделаем замену: , учтем что тогда . Делим (5) на : , получили уравнение для присоединённых функций Лежандра. Тогда получаем решение: .
П
m
|
- система базисных функций. Каждому соответствует и базисных функций. (Чтобы их можно было называть базисными, нужно иметь в виду, что они являются базисными в пространстве функций на сфере). |
Эти сферические функции ортогональны между собой: , т.е. сферические функции образуют ортогональную систему в области .
Полученная система базисных функций является полной системой.
Теорема о разложении. Пусть - функция дважды непрерывно дифференцируемая , без особенностей, разлагается в ряд по сферическим функциям: , абсолютно и равномерно сходящийся, где коэффициенты определяются по формуле .