Рекурсивные вычисления с несколькими переменными

Удобно использовать запись вектора Mathcad, чтобы выполнить многократные вычисления нескольких переменных одновременно. Эта разновидность рекурсивных вычислений — мощный метод для решения системы уравнений в конечных разностях.

При выполнении многократных вычислений нескольких переменных на каждом шаге вычисляются значения переменных на основе всех их предыдущих значений. Нельзя сделать это с отдельными уравнениями, потому что, когда Mathcad видит формулу с дискретным аргументом, он пытается вычислить её для каждого значения дискретного аргумента перед переходом к следующему уравнению. Значит, следует создать одну формулу, которая выполняет вычисления со всеми переменными одновременно.

Например, рассмотрим модель эпизоотии с четырьмя переменными: через i обозначим число инфицированных животных, через s — число восприимчивых, через d — число умерших, через r — число выздоровевших и приобретших иммунитет. Четыре уравнения, которые связывают эти переменные в каждый момент:

i_l+1 = 0.0001 s_l i_l s_l+1 = s_l - 0.0001 s_l i_l d_l+1 = d_l + 0.55 i_l r_l+1 = r_l + 0.45 i_l

Рисунок 11: Вычисления в модели распространения инфекции.

Рисунок 11 показывает, как выполнить одновременные вычисления, используя эти уравнения.

Сделаем одно очень важное замечание относительно этого примера: все индексы l+1 собраны по левую сторону уравнения. Правая сторона содержит только индекс l. Mathcad вычисляет все выражения справа перед выполнением любых присваиваний левой стороне. Это означает, что ничто справа не может зависеть ни от чего слева.

Рекурсивные вычисления с вектором

Возможно также выполнять рекурсивные вычисления, начинающиеся с вектора и возвращающие каждый раз новый вектор. Этот тип многократных вычислений использует начальный вектор и оператор верхнего индекса Mathcad.

Марковский процесс — пример задачи, которая приводит к рекурсивным вычислениям вектора. Марковский процесс начинает с вектора v, который задает начальные значения некоторых количеств, например, число избирателей, планирующих голосовать за различных кандидатов, число грузовиков в региональных ведомствах компании, сдающей в прокат грузовики, или долей различных компаний на рынке. Каждый шаг в процессе Маркова вычисляет новый вектор, умножая предыдущий вектор на переходную матрицу A. Рисунок 12 показывает, как задать процесс Маркова. Эта методика использует верхние индексы, чтобы индексировать весь столбец матрицы сразу. Чтобы создать верхний индекс, нажмите [Ctrl]6. Появится поле между угловыми скобками: < > .

Вот как записать уравнения из Рисунка 12:

• Определите переходную матрицу A. Напечатайте A, нажмите клавишу двоеточия (:) и создайте 3x3 матрицу. Чтобы создать матрицу, выберите Матрицы из меню Математика.

• Щёлкните справа от матрицы и напечатайте v. Затем нажмите [Ctrl]6. Напечатайте 0 в поле для верхнего индекса.

• Завершите определение начального вектора. Нажмите клавишу двоеточия (:), затем выберите Матрицы из меню Математика. Укажите, что создаётся матрица с тремя строками и одним столбцом. Потом заполните ячейки матрицы.

• Напечатайте k:1;8. Это задаст дискретный аргумент k, чтобы выполнить восемь вычислений.

• Чтобы выразить k-тый вектор через (k-1)-ый, напечатайте v [Ctrl] 6 k. Затем напечатайте двоеточие (:) для символа определения. Завершите формулу, напечатав после символа определения: A*v[Ctrl] 6 k-1 .

• Чтобы увидеть восьмой (последний) столбец матрицы, напечатайте v [Ctrl] 68=.

• Чтобы увидеть все векторы как столбцы матрицы, напечатайте v=. Обратите внимание, что в изображении справа отображаются не все столбцы.

Рисунок 12: Рекурсивные вычисления вектора к модели Марковского процесса.

Оператор верхнего индекса фактически отыскивает или определяет один столбец в матрице. Определение v^<k> через v^<k-1> фактически выражает каждый столбец матрицы через предшествующий столбец. В последнем равенстве на Рисунке 12 показана матрица, составленная из этих столбцов.

В этой главе показано много примеров, использующих символ нижнего индекса и дискретные аргументы. В Главе “Векторы и матрицы” содержится много примеров, использующих векторную запись без нижних индексов. Здесь есть важная деталь. Если использовать нижние индексы, когда они не требуются, или наоборот, можно не получить желаемый результат.

Нижние индексы обращаются к отдельным элементам массива. Когда дискретные аргументы используются как нижние индексы, подобно M_{i, j}, Mathcad пробегает элементы массива поодиночке.

Имя без нижних индексов относится к массиву целиком.

Существуют некоторые элементарные правила относительно того, когда использовать нижние индексы:

• Чтобы обратиться к отдельному элементу массива, используйте числа как нижние индексы. Например, чтобы увидеть элемент матрицы (2,3), напечатайте M[2,3=.

• Чтобы обратиться к массиву в целом, используйте имя массива без нижних индексов. (Термин массив означает или вектор или матрицу). Имя массива без нижних индексов следует использовать для умножения одной матрицы на другую, для применения функции mean к массиву, или для просмотра вектора или матрицы целиком — всех случаев, когда следует обращаться с массивом как с целым. Например, чтобы просмотреть на Рисунке 13 матрицу M целиком, напечатайте M=.

• Чтобы обратиться к каждому из элементов массива последовательно, используйте имя массива с дискретным аргументом в качестве нижнего индекса. Это полезно при определении элементов матрицы с использованием какой-либо формулы. Например, чтобы определить матрицу M из Рисунка 13, напечатайте три формулы:

i: 0;3 j: 0;3 M [i, j: i * j

Рисунок 13 показывает некоторые примеры употребления имен массивов с использованием нижних индексов и без.

Рисунок 13: Имена массивов с использованием нижних индексов и без.

Итерационные вычисления с нижними индексами и без

Часто быстрее использовать векторные операции, чтобы выполнить многократные вычисления, чем делать их поэлементно с помощью дискретного аргумента. Это обсуждается более подробно в разделе “Выполнение параллельных вычислений” . К сожалению, не все многократные вычисления могут быть выполнены как векторные операции. Например, рекурсивные вычисления, обсужденные ранее в этой главе, не могут быть выполнены посредством векторных операций.

Чтобы решить, следует ли переписать формулу с нижними индексами, используя векторную запись и оператор векторизации, проверьте следующее:

• Если все нижние индексы в формуле одни и те же, то, вероятно, вычисление будет выполнено быстрее с использованием векторных операций. Например, рассмотрим формулу:

x_i := r_i cos(_i)

Поскольку эта формула не содержит никакого другого нижнего индекса, кроме i, она может быть перезаписана с оператором векторизации ( [Ctrl][-] ):

x :=

• Если формула содержит различные нижние индексы, или если в качестве нижнего индекса используется выражение, вычисление, вероятно, не может быть выполнено с использованием векторных операций. Например, рекурсивные вычисления включают нижние индексы i и i -1 в одной формуле. Так как нижние индексы различаются, и так как второй нижний индекс является выражением, это вычисление не может быть выполнено с использованием векторных операций.

• Если дискретный аргумент появляется где-либо в формуле кроме нижнего индекса, формула не может быть переписана c использованием векторных операций. Например, ниже переменная q не может быть определена через оператор векторизации, поскольку в правой части формулы дискретный аргумент i не является индексом, а участвует в вычислении.

_i := 0.1 i

Рисунок 14 показывает то же самое преобразование полярных координат в декартовы, что и Рисунок 6, выполненное двумя способами: с использованием нижних индексов и через операцию векторизации. В Mathcad второй метод намного быстрее.

Рисунок 14: Выполнение многократных вычислений с помощью векторизации.

Разделы
Список операторов	Список операторов Mathcad в порядке старшинства.
Суммирование и вычисление произведений	Как в Mathcad вычислять произведения и суммы по индексам.
Производные	Как в Mathcad использовать операторы производных.
Интегралы	Как в Mathcad использовать оператор определенного интеграла.
Булевы операторы	Как в Mathcad использовать булевы операторы типа > и <.
Операторы, определяемые  пользователем	Как в Mathcad определять Ваши собственные операторы.

Ниже приведен список операторов Mathcad в порядке старшинства. Более детальная информация относительно операторов над массивами приведена в Главе . Большинство операторов можно ввести в рабочий документ, используя палитры операторов. Чтобы открыть палитру операторов, нажмите на нужную кнопку на полосе кнопок непосредственно под командами меню.

В таблице, приведенной ниже, используются следующие обозначения:

• A и B обозначают массивы (векторы или матрицы).

• u и v обозначают векторы с вещественными или комплексными элементами.

• M обозначает квадратную матрицу.

• z и w обозначают вещественные или комплексные числа.

• x и y обозначают вещественные числа.

• m и n обозначают целые числа.

• i обозначает дискретный аргумент.

• t обозначает любую переменную.

• f обозначает функцию.

• X и Y обозначают переменные или выражения любого типа.

Операция	Обозначение	Клавиши	Описиние
Круглые скобки	(X)	'	Группирование операторов.
Нижний индекс	vn	[	Возвращает обозначенный элемент вектора.
Двойной индекс	Am,n	[	Возвращает обозначенный элемент матрицы.
Верхний индекс	A^n	[Ctrl]6	Извлекает столбец с номером n из массива A. Возвращает вектор.
Векторизация		[Ctrl]-	Предписывает в выражении X производить операции поэлементно. Все векторы или матрицы в X должны быть одного размера.
Факториал	n!	!	Возвращает значение, равное n (n-1) (n-2) ... 1 . Целое число n не может быть отрицательным.
Комплексное  сопряжение		"	Меняет знак мнимой части X.
Транспонирование	A^T	[Ctrl]1	Возвращает матрицу, чьи строки — столбцы А, и чьи столбцы — строки A. А может быть вектором или матрицей.
Степень	z^w	^	Возводит z в степень w.
Степени  матрицы,  обращение  матриц	M^n	^	n-ная степень квадратной матрицы M (использует умножение матриц). n должно быть целым. M^-1 есть обращение M, другие отрицательные степени — степени обращения. Возвращает квадратную матрицу.
Изменение знака	-X	-	Умножает X на -1.
Суммирование элементов		[Ctrl] 4	Суммирует элементы вектора v. Возвращает скаляр.
Квадратный корень		\	Возвращает положительный квадратный корень для положительного z; главное значение для невещественных z.
Корень n-ной  степени		[Ctrl] \	Возвращает корень n-ой степени z; возвращает вещественный корень, когда возможно.
Абсолютное  значение	|z|	|	Возвращает .
Длина вектора	|v|	|	Возвращает длину вектора v: , если все элементы в v вещественны. Возвращает , если вектор v содержит комплекснозначные элементы.
Детерминант	|M|	|	Возвращает детерминант (определитель) квадратной матрицы M, результат — скаляр.
Деление		/	Делит выражение X на ненулевой скаляр z.   Если X — массив, делит каждый элемент на z.
Умножение	X Y	*	Возвращает произведение X и Y, если и X и Y — скаляры. Умножает каждый элемент Y на X, если Y — массив и X — скаляр. Возвращает скалярное произведение если X и Y — векторы одного размера. Выполняет умножение матриц, если X и Y — матрицы соответствующих размеров.
Векторное произведение	u x v	[Ctrl]8	Возвращает векторное произведение для векторов с тремя элементами u и v.
Суммирование		[Ctrl] [Shift]4	Выполняет суммирование X по i = m, m=1, ...n. X может быть любым выражением. m и n должны быть целыми числами.
Произведение		[Ctrl] [Shift]3	Выполняет перемножение X по i = m, m=1, ...n. X может быть любым выражением. m и n должны быть целыми числами.
Суммирование по дискретному аргументу		$	Возвращает суммирование X по дискретному аргументу i. X может быть любым выражением.
Перемножение по дискретному аргументу		#	Возвращает произведение X по дискретному аргументу i. X может быть любым выражением.
Интеграл		&	Возвращает определенный интеграл от f (t) по интервалу [a, b]. а и b должны быть вещественными скалярами. Все переменные в f (t), кроме переменной t, должны быть определены, f (t) должна быть скалярной функцией.
Производная		?	Возвращает производную f (t) по t. Все переменные в f (t) должны быть определены. Переменная  t должна иметь скалярное значение. Функция f (t) должна возвращать скаляр.
Производная  n-ного  порядка		[Ctrl]?	Возвращает производную n-ного порядка функции f (t) по t. Все переменные в f (t) должны быть определены. Переменная t должна быть скаляром. Функция f(t) должна возвращать скаляр. n должно быть целым между 0 и 5 для численного вычисления или положительным целым  для символьного вычисления.
Сложение	X + Y	+	Сложение, если X, Y оба — скаляры. Поэлементное сложение, если X и Y — векторы или матрицы одного размера. Если X — массив, и Y — скаляр,  добавляет Y к каждому элементу X.
Вычитание	X - Y	-	Вычитание, если X, Y — скаляры. Поэлементное вычитание, если X и Y — векторы или матрицы одного размера. Если X — массив, и Y — скаляр, вычитает Y из каждого элемента X.
Сложение с переносом	X + Y	[Ctrl][ ]	То же самое, что и сложение. Перенос чисто косметический.
Больше чем	x > y	>	Возвращает 1, если x> y , иначе 0. x и y должны быть вещественными скалярами.
Меньше чем	x < y	<	Возвращает 1, если x<y, иначе 0. x и y должны быть вещественными скалярами.
Больше либо  равно	x y	[Ctrl]0	Возвращает 1, если x y , иначе 0. x и y должны быть вещественными скалярами.
Меньше либо равно	x y	[Ctrl]9	Возвращает 1, если x y, иначе 0. x и y должны быть вещественными скалярами.
Не равно	z w	[Ctrl]3	Возвращает 1, если z w, иначе 0. z и w должны быть скалярами.
Равно	X = Y	[Ctrl]=	Возвращает 1, если X = Y, иначе 0 . Появляется как полужирное = на экране.