Подпрограммы

Вспомнив, что программа является выражением, состоящим из операторов, каждый из которых содержит выражения, можно прийти к выводу, что оператор в программе может быть другой программой.

На Рисунке 8 приведены два примера программ, содержащих оператор, являющийся, в свою очередь, программой. Пример в правой части Рисунка 8 показывает пример вложенных программ с большим числом уровней. Вообще говоря, предел для числа уровней вложенных друг в друга программ отсутствует. С практической точки зрения программы со слишком большим числом уровней вложенности могут оказаться слишком трудными для понимания.

Одним из путей, которым многие программисты избегают нагромождения сложных программных конструкций, является перенесение сложностей в “подпрограммы.” На Рисунке 9 показано, как это можно сделать в Mathcad. Определив intsimp где-нибудь в другом месте и использовав его внутри adapt, можно сделать программу, определяющую adapt, значительно проще. Определение adapt стало бы значительно более громоздким, если бы оба вхождения intsimp в него нужно было бы заменять длиннющим определением intsimp, приведенным в верхней части рисунка.

Функция  adapt осуществляет адаптивную квадратуру или интегрирование, используя intsimp для аппроксимации площади на каждом подинтервале интегрирования. Из последней строки видно, что функция adapt вызывает сама себя, т.е. определена рекурсивно. Рекурсивные определения функций рассмотрены более подробно в следующем разделе.

Рисунок 8: Программы, операторы которых сами являются программами.

Рисунок 9: Использование подпрограммы для устранения громоздкости.

Рекурсия

Рекурсия  является одним из мощных методов программирования и заключается в определении функции через саму себя, как показано на Рисунке 10. Рекурсивные определения функций должны всегда состоять по меньшей мере из двух частей:

• начального определения, предотвращающего бесконечную рекурсию, и

• определения функции в терминах предыдущего значения функции.

Основная идея подобна идее математической индукции: если можно получить значение f(n+1) из f(n) и известно f(0), то известна и вся функция  f.

Рисунок 10: Рекурсивное определение функции.

Следует, однако, помнить, что рекурсивные определения функций далеко не всегда являются самыми эффективными в вычислительном отношении, несмотря на их краткость и элегантность. Часто оказывается, что определения, использующие операторы цикла, вычисляют нужные значения  быстрее.

Инструментарий программирования Mathcad легок в использовании, поскольку состоит всего из семи кнопок. Тем не менее эта простота обнаруживает удивительную мощь. Вместе с обширным набором численных функций Mathcad и абстрактными структурами данных, которые позволяют использовать аппарат вложенных массивов Mathcad, эти семь операторов позволяют писать самые сложные программы.

На следующих ниже рисунках приведены только немногие из этих возможностей. По мере приобретения опыта в программировании для Mathcad Вам будут открываться все новые и новые возможности. Выбрав пункт Шпаргалки из меню Справка, можно найти много других примеров программ.

Рисунок 11: Программа генерации последовательности случайных чисел геометрического  распределения.

Рисунок 12: Программа отыскания элементов, общих для двух векторов.

Рисунок 13: Решето Эратосфена для отыскания простых чисел.

Рисунок 14: Степени матрицы вероятностей переходов.

Рисунок 15: Сглаживание матрицы.

Разделы
Решение одного уравнения	Как в Mathcad использовать функцию поиска корня для численного решения одного уравнения с одним неизвестным.
Системы уравнений	Как использовать блоки решения уравнений для численного решения систем из n уравнений с n неизвестными.
Как лучше искать корни	Примеры того, как эффективно решать системы уравнений при различных значениях параметров, входящих в уравнения.

Для решения одного уравнения с одним неизвестным используется функция root. Аргументами этой функции являются выражение и переменная, входящая в выражение. Ищется значение переменной, при котором выражение обращается в ноль. Функция возвращает значение переменной, которое обращает выражение в ноль.

root( f(z), z)

Возвращает значение z, при котором выражение или функция f(z) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция возвращает  скаляр.

Первый аргумент есть либо функция, определенная где-либо в рабочем документе, или выражение. Выражение должно возвращать скалярные значения.

Второй аргумент — имя переменной, которое используется в выражении. Это та переменная, варьируя которую Mathcad будет пытаться обратить выражение в ноль. Этой переменной перед использованием функции root необходимо присвоить числовое значение. Mathcad использует его как начальное приближение при поиске корня.

Рассмотрим пример, как найти a — решение уравнения e^x = x³. Для этого выполните следующие шаги:

• Определите начальное значение переменной x. Введите x:3. Выбор начального приближения влияет на корень, возвращаемый Mathcad (если выражение имеет несколько корней).

• Определите выражение, которое должно быть обращено в ноль. Для этого перепишите уравнение e^x = x³ в виде x³ - e^x = 0. Левая часть этого выражения и является вторым аргументом функции root

• Определите переменную a как корень уравнения. Для этого введите a:root(x^3[Space]-e^x[Space],x).

• Напечатайте a=, чтобы увидеть значение корня.

При использовании функции root имейте в виду следующее:

• Удостоверьтесь, что переменной присвоено начальное значение до начала использования функции root.

• Для выражения с несколькими корнями, например x² - 1 = 0, начальное значение определяет корень, который будет найден Mathcad. На Рисунке 1 приведен пример, в котором функция root возвращает различные значения, каждое из которых зависит от начального приближения.

• Mathcad позволяет находить как комплексные, так и вещественные корни. Для поиска комплексного корня следует взять в качестве начального приближения комплексное число.

• Задача решения уравнения вида f(x) = g(x) эквивалентна задаче поиска корня выражения f(x) - g(x) =0. Для этого функция root может быть использована следующим образом:

root(f(x) - g(x), x)

Функция root предназначена для решения одного уравнения с одним неизвестным. Для решения систем уравнений используйте методику, описанную в следующем разделе “Системы уравнений”. Для символьного решения уравнений или нахождения точного численного решения уравнения в терминах элементарных функций выберите Решить относительно переменной из меню Символика. См. Главу “Символьные вычисления”.

Рисунок 1: Использование графика и функции root для поиска корней уравнения.