Уравнения более высокого порядка

Методика решения дифференциальных уравнений более высокого порядка является развитием методики, которая применялась для решения дифференциальных уравнений второго порядка. Основное различие состоит в следующем:

• Вектор начальных значений y теперь состоит из n элементов, определяющих начальные условия для искомой функции и ее производных y, y' , y'',....y^(n-1)

• Функция D является теперь вектором, содержащим  n элементов:

• Матрица, получаемая в результате решения, содержит теперь n столбцов: первый — для значений t, и оставшиеся столбцы — для значений y (t), y' (t), y''(t),....y^(n-1)(t).

Пример, приведенный на Рисунке 4, показывает, как решить следующее дифференциальное уравнение четвертого порядка:

y'''' - 2k²y'' + k⁴y = 0

с начальными условиями:

y (0) = 0   y' (0) = 1   y'' (0) = 2   y''''(0) = 3

Рисунок 4: Решение дифференциального уравнения более высокого порядка.

Методика решения системы ОДУ очень похожа на методику решения ОДУ высокого порядка, которая была описана выше. Фактически можно рассматривать решение дифференциального уравнения высокого порядка как частный случай решения системы ОДУ.

Системы оду первого порядка

Для того чтобы решить систему ОДУ первого порядка, необходимо:

• Определить вектор, содержащий начальные значения для каждой неизвестной функции.

• Определить функцию, возвращающую значение в виде вектора из n элементов, которые содержат первые производные каждой из неизвестных функций.

• Выбрать точки, в которых нужно найти приближенное решение.

• Передать всю эту информацию в функцию rkfixed.

Рисунок 5: Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Функция  rkfixed вернёт матрицу, чей первый столбец содержит точки, в которых ищется приближенное решение, а остальные столбцы содержат значения найденных приближенных решений в соответствующих точках.

На Рисунке 5 приведен пример решения следующей системы ОДУ:

 x'₀(t) =  x₀(t) - x₁(t) - (x₀(t)² + x₁(t)²) x₀(t)

 x'₁(t) =  x₁(t) + x₀(t) - (x₀(t)² + x₁(t)²) x₁(t)

с начальными условиями:

x₀(0) = 0 и x₁(0) = 1

Системы дифференциальных уравнений более высокого порядка

Методика решения системы дифференциальных уравнений, каждое из которых может содержать производные от неизвестных функций выше первого порядка, та же, что описана выше. Заметим, что любое уравнение вида

x⁽ⁿ⁾ = f( t, x^(n-1), x^(n-2),..., x,...)

посредством замены

x₁(t) = x(t)

x₂(t) = x'(t)

...

x_n(t) = x^(n-1)(t)

может быть приведено к совокупности уравнений

x'₁(t) = x₂(t)

x'₂(t) = x₃(t)

...

x'_n(t) = f( t, x_n, x_n-1,... x₁,...)

Заметьте, что в приведённых выше уравнениях не встречаются производные выше первого порядка. Преобразовав подобным образом каждое из уравнений, входящих в исходную систему, получим систему с большим количеством неизвестных функций, но с производными только первого порядка. Методика решения таких систем описана в предыдущем подразделе. Пример на Рисунке 6 показывает, как поступать при решении системы дифференциальных уравнений второго порядка:

u''(t) = 2v(t)

v''(t) = 4v(t) - 2u(t)

Рисунок 6: Система линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

Функция rkfixed возвращает матрицу, в которой:

• Первый столбец содержит точки, в которых должны быть найдены решения и их производные.

• Остальные столбцы содержат значения решений и их производных, соответствующие точкам из первого столбца. Порядок, в котором появляются решение  и его производные, повторяет порядок их расположения в функции D(x,y) и векторе начальных условий y.

Функция rkfixed, описанная выше, использует универсальный метод для решения дифференциальных уравнений. Хотя метод Рунге-Кутты, используемый этой функцией, не всегда является самым быстродействующим, он почти всегда приводит к искомому результату. Однако имеются случаи, в которых можно попробовать использовать некоторые специальные функции Mathcad, предназначенные для решения дифференциальных уравнений. Эти случаи относятся к трем широким категориям задач:

• Решается не задача с начальными условиями (задача Коши), а краевая задача (sbval и bvalfit).

• Cистема дифференциальных уравнений может иметь некоторые специфические свойства, используя которые, можно решить её более точно. Для решения системы в этих случаях лучше использовать специализированные функции Mathcad, чем функцию rkfixed. Например, для решения жесткой системы (Stiffb, Stiffr); для решения систем с гладкими решениями (Bulstoer) или медленно изменяющимися решениями (Rkadapt).

• Требуется найти решение только в одной фиксированной точке (bulstoer, rkadapt, stiffb и stiffr).

Можно также пробовать решать дифференциальное уравнение разными методами, чтобы понять, какой из них работает лучше всего. Иногда имеются тонкие различия между дифференциальными уравнениями, которые делают один метод решения предпочтительнее другого.

Следующие разделы описывают использование различных методов решения дифференциального уравнения и те случаи, в которых они могут быть полезны.